ベータ等価とは何ですか？

私が現在ラムダ計算で読んでいるスクリプトでは、ベータ等価は次のように定義されています。

-equivalence含まれている最小の等価である。≡ β → $\beta$$\equiv_\beta$$\rightarrow_\beta$

それが何を意味するのか分かりません。誰かがそれをより簡単な言葉で説明できますか？たぶん例を挙げて？

チャーチ・ラッサーの定理から続く補題のためにそれが必要です

M Nの場合、M LおよびN \ twoheadrightarrow_ \ beta LのLがあります。$\equiv_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$

$\to_\beta$は、$\lambda$ -calculusの項間の1ステップの関係です。この関係は、再帰的、対称的、または推移的ではありません。同値関係$\equiv_\beta$の反射的、対称、推移閉包である$\to_\beta$。これの意味は

1. もし$M\to_\beta M'$その後、$M\equiv_\beta M'$。
2. すべての用語について、が成り立ちます。M ≡ β$M$$M\equiv_\beta M$
3. もしそして。M " ≡ β$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M$
4. もしと、そして。$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M''$$M\equiv_\beta M''$
5. $\equiv_\beta$は、条件1〜4を満たす最小の関係です。

より建設的には、最初に規則1と2を適用し、次に関係に新しい要素が追加されなくなるまで規則とを繰り返します。$3$$4$

本当に初等集合論です。再帰関係、対称関係、推移関係とは何ですか？等価関係は、これらの3つのプロパティすべてを満たす関係です。

リレーション「推移的閉包」を聞いたことがあるでしょうか？まあ、それはを含む最も推移的な関係に他なりません。それが「クロージャ」という用語の意味です。同様に、あなたは関係の「対称閉鎖」について話すことができます、関係の「反射的閉鎖」との関係の「等価閉鎖」全く同じようインチ$R$$R$$R$$R$$R$

少し考えてみると、の推移閉包はと確信できます。対称閉包はです。再帰的閉包は（はアイデンティティ関係です）。 $R$$R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$$R \cup R^{-1}$$R \cup I$$I$

私たちは、表記の使用のための。これは、再帰的推移閉包です。ここで、が対称である場合、関係、、、、...のそれぞれが対称であることに注意してください。したがって、も対称になります。$R^*$$I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$$R$$R$$I$$R$$R^2$$R^3$$R^*$

したがって、の等価閉包は対称閉包の推移閉包、つまりです。これは一連のステップを表し、そのいくつかは前進ステップ（）といくつかの後退ステップ（）です。$R$$(R \cup R^{-1})^*$$R$$R^{-1}$

関係閉包が複合関係と同じである場合、関係はChurch-Rosserプロパティを持つと言われます。これは、すべての前進ステップが最初に来て、すべての後退ステップが続く一連のステップを表します。したがって、チャーチ・ロッサーのプロパティは、前進ステップと後退ステップのインターリーブは、前進ステップを最初に、後退ステップを後で行うことで同等に実行できると述べています。$R$$R^* (R^{-1})^*$