文法とオートマトンの言語の決定可能性

これは大学でCSのコースで研究に関連した質問であることに注意してください、それは宿題ではなく、見つけることができ、ここで 2011年秋exam2下。

過去の試験で見ている2つの質問を以下に示します。それらは関連しているようです、最初：

させて

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}} = \{ < \! G \! > \mid G \text{ is a Context Free Grammar with } |\mathcal{L}(G)|<\infty \}$

その証明決定可能言語です。 $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}}$

そして...

させて

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}} = \{ < \! M\!> \mid M \text{ is a Turing Machine with } |\mathcal{L}(M)|<\infty \}$

が決定不能な言語であることを証明します。 $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}}$

これらの問題に取り組む方法について少し迷っていますが、正しい方向にあると思われる洞察をいくつか持っています。ある最初の事は、私が承知していることである言語、$A_{\mathrm{REX}}$

$\qquad A_{\mathrm{REX}} = \{ <\! R, w \!> \mid R \text{ is a regular expression with } w \in\mathcal{L}(R)\}$

は決定可能な言語です（証明はMichael Sipserの計算理論、ページ168にあります）。同じソースは、Context Free Grammarが正規表現に変換でき、その逆も可能であることを証明しています。したがって、も正規表現に変換できるため、決定可能でなければなりません。これと、A T Mが決定できないという事実は、この問題に関連しているようです。$A_{\mathrm{CFG}}$$A_{\mathrm{TM}}$

私が考えることができる唯一のことは、（Gを正規表現に変換した後）とA T MのためにGをチューリングマシンに渡すことです。次に、Gが受け入れる場合は受け入れ、Gが受け入れない場合は拒否します。A T Mが決定不可能である、これは決して起こらないだろう。どういうわけか私はここで間違いを犯しているように感じますが、それが何であるかはわかりません。誰かが私にここで手を貸してもらえますか？$A_{\mathrm{REX}}$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$

1. $FINITE_{CFG}$$FINITE_{CFG}$

2. $FINITE_{TM}$$H$$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$$H$$H$$FINITE_{TM}$$H$$H$$H$$H$$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$

同じソースは、Context Free Grammarが正規表現に変換でき、その逆も可能であることを証明しています。

Sipserがそれを述べていることを本当に疑います、あなたはおそらく誤解または誤解されました。これは、文脈自由文法が右線形文法とまったく同じ言語を生成することを意味します。これは誤りです。右線形文法が生成するのは、言語の文脈に依存しない文法dpの適切なサブセットです。そうは言っても、通常の言語を使用して質問に答えようとすると、どこにも行けなくなります。

上記の私の証明でわかるように、2つの質問は実際には2つの非常に明確で無関係な質問です。彼らが同じように言葉遣いされたことがたまたま起こります。

$FINITE_{CFG}$

$L$$N$$x\in L$$N$

$L$$L$$N$

$N$$2N$$L$$L$