しきい値回路の重みに関する仮定

ブール入力線形しきい値関数を実装するしきい値ゲートは、式 where。の閾値関数の重みと呼ばれ、閾値と呼ばれ、自然に、ゲート火災入力に上式で与えられる重み付けされた和を超える場合は。$n$$x_1, x_2 \ldots, x_n$$w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots, w_n x_n \ge t$$w_1, \ldots, w_n, t \in \mathbb{R}$$w_i$$t$$1$$x$$t$

さて、しきい値回路に関する文献のほとんどどこでも、私はこの事実に遭遇します（私が推測しているのは、どこにも証明を見つけることができなかったため、民間伝承です）：上記の線形方程式のは整数にすることができます（ビット）、およびこれらのゲートで構成されたしきい値回路は、実際の重みで可能なことは何でも計算します。私はこれをいくつか考えました、そしてそれは簡単なトリックであるに違いないと思いますが、私はこの事実の証拠を得ることができませんでした。誰かが私を助けたり、参照を提供したりできますか？（私が見つけた唯一の参照は、私が入手できなかった室賀のテキストでした）$w_i$$n \log{n}$

与えられた $w_1,\ldots,w_n,t$、させて $X$ 次のような割り当てのセットである $\sum_i w_i x_i \geq t$、および変数を含む線形計画を考えます $z_1,\ldots,z_n$ そしてその $2^n$ 制約

$$\begin{align*} \sum_i z_i x_i \geq +1 & (x_1,\ldots,x_n) \in X \\ \sum_i z_i x_i \leq -1 & (x_1,\ldots,x_n) \notin X \end{align*}$$ この線形プログラム（目的関数が一定）は実行可能です（ $z_i = w_i/t$ は解決策です）、したがって解決策があります $z_1,\ldots,z_n$これは頂点です。このように、それはのシステムのソリューションです$n$ 形の方程式 $$\sum_i z_i x_i = \pm 1.$$ クラマーの法則は $z_i$ 2の比率として $n \times n$ の行列の行列式 $0,\pm 1$エントリ; 実際、分母は同じです。各分子$N_i$ そして一般的な分母 $D$ せいぜい $n!$ マグニチュードで、すべてを掛ける $D$、私たちは積分解を得ます $N_1,\ldots,N_n,D$、すべての量が最大で $n! \leq n^n = 2^{n\log n}$ 大きさで。