サブセット合計をパーティションに減らすにはどうすればよいですか？

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たぶんこれは非常に簡単ですが、この削減を得るのに苦労しています。Subset Sumを Partitionに減らしたいのですが、現時点では関係がわかりません！

レビン削減を使用してこの問題を減らすことは可能ですか？

わかりにくい場合は、説明を書いてください！

complexity-theory np-complete reductions

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ましょうサブセット和、のインスタンスで数値のリスト（マルチセット）であり、そして目標合計です。ましょう。してみましょう追加することによって形成され、リストも $(L,B)$ $L$ $B$ $S = \sum L$ $L'$ に。 $S+B,2S-B$ $L$

サブリストがある場合（1）に加算、その後、：2つの等しい部分に分割することができる及び。実際、最初の部分の合計はになり、2番目の部分の合計は $M \subseteq L$ $B$ $L'$ $M \cup \{ 2S-B \}$ $L\setminus M \cup \{ S+B \}$ $B+(2S-B) = 2S$ 。 $(S-B)+(S+B) = 2S$

（2）を2つの等しい部分に分割できる場合、加算するサブリストがあります。実際、あり、各部分の合計はであるため、2つの要素は異なる部分に属します。一般性を失うことなく、。の残りの要素は次のものに属します $L'$ $P_1,P_2$ $L$ $B$ $(S+B)+(2S-B) = 3S$ $2S$ $2S-B \in P_1$ $P_1$ へと合計。 $L$ $B$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

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しかし、標準のサブセット合計問題ではすべての整数が使用され、パーティション問題では負でない整数のみが使用されます

— ...-gukoff

SUBSET-SUMは、負でない整数でもNP完全です。たとえば、3SATからの削減は、負でない整数になります。また、整数SUBSET-SUMから非負の整数SUBSET-SUMへの直接的な減少がある可能性があります。

— ユヴァルフィルマス

1

はい、わかります。この削減は非常に簡単です。「デフォルト」形式のサブセット合計ではないことに注意してください。:)

— グコフ

もしそれがまた動作しますか

であり、

？として

、たとえば

L^{^{'}}

$L^{'}$

L ⋃ {B, S - B}

$L \bigcup \{B, S-B\}$

| {B, S - B} | = B

$|\{B, S-B\}| = B$

| L | = B

$|L| = B$

— 好奇心が

1

@Issamそうではありませんが、このPARTITIONインスタンスには常に解

ます。

L, {B, S - B}

$L,\{B,S-B\}$

— ユヴァルフィルマス14

1

によって言及された答え @Yuval Filmusがは間違っています（負の整数がない場合のみ正しいです）。次のマルチセットを検討してください。

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2\}$

ターゲットの合計はです。サブセットがないことがわかっています。次に、パーティション問題のインスタンスを作成します。追加した2つの新しい要素であるおよび。：マルチセットは今であるとの総和であります $-2$ $2\sigma-t = 12$ $\sigma+t = 3$

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12\}$

。

20

$20$

パーティションの問題は、サブセット与える回答解決 2つの新しい要素が同一サブセット（半分の和に分割する他の方法が存在しない）であり、ここ。したがって、これは反例です。正解は次のとおりです。

{2, 2, 2, 2, 2}

$\{2, 2, 2, 2, 2\}$

その値は要素の追加。マルチセットの合計は、現在です。合計 2つのサブセットを与えるパーティション問題を解きます。パーティションの1つだけに新しい要素が含まれます。合計がである他のパーティションを選択し、サブセットの問題をパーティションの問題に減らすことで解決しました。これがリンクの説明です。 $2t-\sigma$ $2t$ $t$ $t$

— ロヒト・クマール・イェーナ
ソース

1

しかし、Yuvalが彼の答えに対するコメントで述べているように、正の整数に制限しても、サブセットの合計はNP完全です。したがって、負の数はないと仮定できます。

— デビッドリチャービー

1

はい、同意します。正の整数の場合でも、サブセットの合計はNP完全です。私は整数に対してより完全な証明を提供していました。

— ロヒトクマールイエナ

1

「より完全な証拠を提供するだけ」で、既存の回答が間違っていると誤って主張している。

— デビッドリチャービー

1

負の整数では機能しないという意味で間違っています。:)平和:)

— ロヒトクマールイェーナ

1

これは簡単な証明です：

SET-PARTITIONが多項式時間で検証できることは簡単にわかります。パーティション $P_1,P_2$ 与えられた場合は2つを合計し、それらの合計が互いに等しいことを確認します。これは明らかに多項式時間検証です（合計は多項式演算であり、最大で $|X|$ 多くの合計）。

証明の核心は、SUBSETSUMをPARTITIONに減らすことです。そのために設定された所定の $X$ と値 $t$ （サブセット和クエリ）新たなセットを形成 $X'=X \cup \{s-2t\}$ $s=\sum_{x \in X}x$ 。これが削減であることを確認するには：

（ $\implies$ ）いくつかが存在すると仮定 $S \subset X$ するよう $t=\sum_{x \in S}x$ 次に我々はだろう
$s - t = \sum_{x \in S \cup {s - 2 t}} x,$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$ $s - t = \sum_{x \in X^{'} ∖ (S \cup {s - 2 t})} x$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$ 、我々はそれであろう $S\cup \{ s-2t \}$ および $X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ のパーティションを形成 $X'$
（ $\impliedby$ ）パーティションが存在すると仮定する $P_1',P_2'$ の $X'$ よう $\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$ 。通知、この誘導自然のパーティション $P_1$ 及び $P_2$ の $X$ ように我々はWLOGその
$s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x$ $\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + 2 \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ \sum_{x \in P_{1}} x = t$ $\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$

$t=\sum_{x \in S}x$ $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$ , $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ and conversely from a partition $P_1',P_2'$ we can form a soltuion $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ and therefore the mapping $f:(X,t)\rightarrow X'$ is a reduction (because $(X,t)$ is in the language/set SUBSETSUM $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$ is in the language/set PARTITION) and it is clear to see that the transformation was done in polynomial time.

— Pedrpan
ソース

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Subset Sum:

Input: {a1,a2,...,am} s.t M={1..m} and ai are non negative integer and S⊆{1..k} and Σai(i∈S) = t

Partition:

Input: {a1,a2,...,am} and S⊆ {1,· · ·,m} s.t Σai(i∈S) = Σaj(j∉S)

Partition Np Proof: if prover provides a partitions(P1,P2) for verifier, verifier can easily calculate the sum of P1 and P2 and check if the result is 0 in linear time.

NP_Hard: SubsetSum ≤p PARTITION

Let x be input of SubsetSum and x=〈a1,a2,...,am,t〉 and Σai(i from 1 to m) = a

Case1: 2t >= a:

Let f(x)=〈a1,a2,...,am,am+1〉 where am+1= 2t−a

We want to show that x∈SubsetSum ⇔ f(x)∈PARTITION

so there exist S⊆ {1,...,m} s.t T = {1..m} - S and Σai(i∈T) = a-t

and Let T' = {1...m,m+1} - S so Σaj(j∈T') = a-t+2t-a = t

which is exactly Σai(i∈S)= t and it shows f(x)∈PARTITION

now We also will show that f(x)∈PARTITION ⇔ x∈SubsetSum

so there exist S⊆ {1,...,m,m+1} s.t T = {1,...,m,m+1} - S and Σai (i∈T)= [a+(2t-a)-t]=t

and it shows Σai(i∈T) = Σaj(j∈S) so m+1∈T and S⊆ {1,· · ·,m} and Σai(i∈S)= t

so x∈SubsetSum

Case 2: 2t =< a :

we can check same but just this time am+1 is a−2t

— Behrooz Tabesh
ソース

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this link has a good description of both reductions, partition to subset-sum and subset-sum to partition. I think it is more obvious than YUVAL's answer. useful link

— user44970
ソース

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— Tom van der Zanden