多項式に関する問題の決定可能性

私は次の興味深い問題に遭遇しました：を実数体上の多項式とし、それらの係数がすべて整数である（つまり、これらの多項式の有限の正確な表現がある）とします。必要に応じて、両方の多項式の次数が等しいと仮定する場合があります。私たちはで表すと（RESP。x_q）多項式の一部（実数または複素数）ルートの最大絶対値P（それぞれQ）。プロパティx_p = x_qは決定可能ですか？$p,q$$x_p$$x_q$$p$$q$$x_p = x_q$

そうでない場合、このプロパティは、制限された多項式の一部のファミリーに適用されますか？この問題が発生する状況では、多項式は行列の特性多項式であり、それらの根は固有値です。

多項式の根/固有値を計算するためのいくつかの数値アルゴリズムを知っていますが、これらのアルゴリズムの出力は概算にすぎないため、ここでは役に立たないようです。ここではコンピュータ代数が役立つように思えますが、残念ながらその分野の知識はほとんどありません。

私はこの問題の詳細な解決策を探しているわけではありませんが、解決策を探すための直感とアイデアは役に立ちます。

前もって感謝します。

私もその分野に精通していませんが、非建設的な答えを提供できると思います。

実際の閉じた場の1次理論は決定可能です。あなたの問題は、代数方程式と実際の代数的数の不等式のシステムとして表すことができます。検討変数は。次のシステムが満足できるかどうかを知りたい場合： $2 (\deg P + \deg Q)$$x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

$$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$$

最初の2つの方程式ファミリーは、およびが多項式の根であることを表し、次の2つの不等式ファミリーは、およびをは最大の絶対値を持ち、最後の不等式はこれらの最大の絶対値を比較します。$x_j+i\,y_j$$x'_k+i\,y'_k$$x_1+i\,y_1$$x'_1+i\,y'_1$

このシステムが満足できるかどうかは決定可能です。問題は決定可能です。しかし、この発言はおそらくそれについて取り組む最も効率的な方法ではありません。

より有用な答えは、おそらくグレブナー基底の理論に関係しています。この問題を自分で解決しようとしている場合、計算代数の本の最初の数章を読むと、必要な背景が得られると思います。根底にある問題を解決することだけを目的としている場合は、実装可能な市販のアルゴリズムがおそらくあります。

私はこれについて間違っているかもしれません：私はこの分野にもあまり詳しくありません（エキスパートはどこにいるのですか？）。

簡単にするために、すべてのルーツは現実のものであると仮定します。絶対値が最も高いのルートにバインドされた区間（つまり、他のすべてのルートに対してとような区間をます。このような間隔は、二分法とシュトゥルムの定理を組み合わせて使用​​することでわかります。との多項式GCDを計算します。がルートを持っていることを確認します（ここでもSturmの定理を使用）。私はxはP ∈ 私はxは「P ∉ I P R P Q R $P$$I$$x_P\in I$$x_P'\notin I$$P$ $R$$P$$Q$$R$$I$

私が間違っていない場合、とがに共通の根を持つ場合に限り、はそのような根を持ちます。は、が根である場合にのみ可能です。シュトゥルムの定理の適用とGCDはどちらもかなり高速です（実際、多項式のサイズは2次以下です）。P Q I x P$R$$P$$Q$$I$$x_P$$Q$

これは単なるスケッチですが、これを正真正銘のアルゴリズムに変換するのにそれほど時間はかかりません。実際、MapleまたはMathematicaを使用することでこれは簡単になると思います。