入力の長さの対数よりも少ないスペースを使用するチューリングマシンを拒否するのはなぜですか？

では、計算の複雑さ：アローラとバラクによって現代的なアプローチ、それがいることを言及しています

ただし、 $S(n)> \log n$ ワークテープは長さがあるので $n$、そして少なくとも現在読み取っている入力テープのセルのインデックスを記憶できるようにしたいとします。

それはどういう意味ですか？ポイントがわかりません。「入力テープの先頭で現在読み取られているセルのインデックスを記憶する」とはどういう意味ですか？説明はありますか？

入力テープの動きをスペースの考慮事項にカウントしないので、ワークテープのみをカウントすることに注意してください。

すべての項目をループする高級言語のプログラムを考えてみましょう。

for i from 1 to n
    do something
end for

このループの実装には、 $O(\log n)$ 変数なのでワークスペース $i$ 取る $O(\log n)$格納するビット。それだけ多くのメモリを使用することが許可されていない場合、重要なアルゴリズムを実装するときは、可能な場合は非常に注意する必要があります。たとえば、結果は計算モデルの正確な定義に大きく依存します。

AroraとBarakはそのような問題に焦点を当てたくないので、少なくとも対数のスペースが与えられていると想定しています。対数空間で一般的な縮小を実行できるかどうかを心配することなく、十分興味深い内容があります。（そして、通常の言語、つまり一定のスペースで認識できる言語を勉強したいのであれば、複雑さの理論は必要ありません。）