任意の証明が円形であるかどうかのテスト？

私は証明について考えていて、興味深い観察に出会いました。そのため、証明はカリー・ハワード同型写像によるプログラムと同等であり、循環証明は無限再帰に対応します。しかし、停止する問題から、任意のプログラムが永久に再帰するかどうかを一般的にテストすることは決定できないことがわかります。カリー・ハワードによると、それは、証明が循環推論を使用するかどうかを判断できる「証明チェッカー」がないことを意味しますか？

私はいつも、証明は簡単に確認できるステップ（推論ルールの適用に対応する）で構成されると考えられていました。すべてのステップを確認することで、結論が続くという確信が得られます。しかし、今私は不思議に思っています：停止問題を回避して循環推論を検出する方法がないため、そのような証明チェッカーを書くことは実際には不可能ですか？

証明システムの大部分は、無限の円形証明を許可していませんが、言語をチューリング以外の完全なものにすることで許可しています。

通常の関数型言語では、プログラムを永久に実行する唯一の方法は再帰を使用することであり、理論的には、再帰をコンビ、型：つまり、他の「自己」引数を呼び出す関数を受け取り、単一の再帰関数に変換します。$Y$$\forall a \ldotp (a \to a) \to a$

次に、これにカリー-ハワード同型を適用します。命題に対して、がそれ自体を意味する場合を証明できるという証明がます。この方法で何でも証明できます！$a$$a$$a$

ここで重要なのは、Yコンビネーターが言語に組み込まれていることです。これは公理と見なされます。したがって、問題が発生しないようにするには、それを公理として取り除きます。

このため、ほとんどの正式な証明システムでは、再帰を適切に確立する必要があります。停止することが証明できる機能のみを受け入れます。そして結果として、彼らは停止するプログラムを拒否しますが、それを証明することはできません。

Coqはこれをかなり限られた方法で行います。再帰関数は引数を持つ必要がありますが、再帰呼び出しは厳密に小さいバージョンの引数のみを使用します。Agdaは同様のことを行いますが、もう少しプログラムを受け入れるためにもう少し凝ったチェックをします。