NP-Completeには有限の問題がありますか？

講師が発言した

有限問題はNP完全にはできません

彼は数独について、8x8の数独には有限の解決策があるという線に沿って何かを言っていましたが、彼が言ったことを正確に思い出すことはできません。私は引用したがまだ理解していないというメモを書き留めました。

私が間違っていなければ、数独はNP完全です。クリーク問題もNP完全であり、4クリーク問題があった場合、これはNP完全な有限問題ではありませんか？

有限問題がNP完全である場合、P = NPとなります。これは、すべての有限問題に多項式時間アルゴリズム（一定時間アルゴリズムでさえも）があるためです。

数独がNP完全であると言うとき、ボードでプレイされる数独の一般化バージョンはNP完全であることを意味します。$n^2 \times n^2$

最後に、4クリーク問題は有限問題ではありませんが（入力グラフのサイズに制限はありません）、多項式時間アルゴリズムを持つ簡単な問題です。

あなたの先生の声明が間違っているか、おそらくあなたは彼を正しく聞いていません。正しい声明は

任意の有限言語と| L | ≥ 1がない限り、NP完全であることはできないP = N P。$L$$|L| \geq 1$$P = NP$

これは、かどうかが（2016年のように）まだわからないためです。また| L | > 1ために重要である∅（空の言語）はNP完全かどうかになることはありませんP = N PまたはP $P \neq NP$$|L|>1$$\emptyset$$P=NP$$P \neq NP$

入力が有限サイズの9x9または8x8ボードであるため、数独またはチェスはNP完全ではありません（Yuvalが指摘しているように）チェスでは、ポジションを繰り返す場合、それは引き分けと見なされます。

リコール：問題Xは、次の2つの条件を満たす場合にNP完全です。

a）NPにあります。つまり、Xの推定解は多項式時間で検証できます。

b）それはNPについて完全です-すなわちNPのすべての問題Yは、YのインスタンスをXのインスタンスに変換する多項式時間削減を持っています（Xを解く多項式時間プログラムは、多項式時間でYも解くでしょう）。

9x9の数独が（a）を満たすことに同意できます。（b）物事が落ちる場所です。より一般的には-（NPまたはその他の）問題には、通常、N の任意の大きな値に対してサイズNのインスタンスがあります。確かにこれはNPの既知の問題に当てはまります。そのような問題から可能な限り最大の問題サイズを持つものへの削減は、前者が常に後者よりも（無限に）多くのインスタンスを持っているため、有効なインスタンス間削減ではない可能性があります。NP完全性を考慮する前に、数独をNxN行列に一般化する必要があるのはこのためです。