「マップ挿入ソート」が「マップマージソート」と等しくないのはなぜですか？

中型理論ポッドキャストEP。3、Dan Licataは、すべての入力について、insertionsortとmergesortが同じ結果を与えるという事実は、3番目の関数への引数として高次関数として使用された場合、結果が等しいことを意味しない、つまりmap insertionsort、等しい必要がないと主張しmap mergesortます。

彼はこれを「関数、挿入ソートとマージソートが等しいので、あなたは知らないので」と説明していますが、それでもまだわかりません。

これはなぜですか？反例は素晴らしいでしょう！

それは、拡張性の公理、つまり、関数に対してそれを受け入れるかどうかに関係しています。

$$\forall f,g:A \to B,\ ((\forall x:A ,\ f\ x = g\ x) \Leftrightarrow f = g).$$

$\text{map}\ f = \text{map}\ g$

$$(\forall x:A,\ f\ x = g\ x) \implies \forall xs:\text{list}\ A,\ \text{map}\ f\ xs = \text{map}\ g\ xs.$$ $\text{map}\ f = \text{map}\ g$