ランダム化された溶融可能なヒープ-期待される高さ

ランダム化された融合可能なヒープには操作「meld」があり、それを使用して、挿入を含む他のすべての操作を定義します。

問題は、ノードを持つツリーの予想される高さは何ですか？$n$

Gambin and Malinkowskiの定理1、ランダム化された融合可能な優先キュー（Proceedings of SOFSEM 1998、Lecture Notes in Computer Science vol。1521、pp。344–349、1998; PDF）は、この質問に対する答えを証明とともに示しています。しかし、なぜ書き込めるかはわかりません：

$$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$$

私にとって木の高さは

$$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$$

これは次のように拡張できます。

$$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$$

2つのサブツリーの高さの最大値がkに等しい$k$確率は、全確率の法則を使用して書き換えることができます。

$$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$$

だから最後に私は得る：

$$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$$

これは私が行き詰まっているところです。私はそれを見ることができる多かれ少なかれ等しい（ただし、我々は最大で必要） 。しかし、最初から公式につながるものは何もありません。$\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$$\frac{1}{2}$$\leq \frac{1}{2}$

サブツリーの高さは私には独立していないようです。

手伝ってくれてありがとう。

論文では、は高さではありません。これは、完全なバイナリツリーのルートからランダムに離れた距離です（つまり、すべての葉が「nil」であると主張します）。したがって、それらが持つ表現は正しいものです。$h_Q$

また、誘導を回避できます。深さ特定の葉で終了する確率は、ちょうどです。したがって、予想される歩行時間は$d$$2^{-d}$

$$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$$

サイズのセット分布のエントロピー 。$|\text{leaves}(Q)|$