Collat​​z再帰の実行時間

次のPythonコードがあります。

def collatz(n):
    if n <= 1:
        return True
    elif (n%2==0):
        return collatz(n/2)
    else:
        return collatz(3*n+1)

このアルゴリズムの実行時間は？

試してください：

場合関数の実行時間を示します。そして、私は $T(n)$collatz(n)

$$\begin{cases} T(n)=1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) \text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

が偶数の場合、はなると思いますが、一般的に再発を計算する方法は？$T(n)$$\lg n$$n$

これはCollat​​zの予想です-未解決の問題です。
予想は、このシーケンスは、任意の入力を停止し、これが未解決であることから、我々はさらにそれがすべてでは停止しない場合があり、このランタイム漸化式を解決する方法がわからない、ということの証明についてです-そう証明されるまで、実行中の時間が不明であってもよい。$\infty$

あなたはコードを正しく翻訳しました。再発を解決する多くの方法があります。

ただし、collatzすべてが停止するかどうかは現在不明ですn。それがする主張は、コラッツ予想として知られています。そのため、この繰り返しに対応する既知の方法はありません。

nが偶数の場合、はlg nになると思います$T(n)$$\lg n$$n$

どうして？あなたはあなたの主張が正しい考えていると思います。これは、この再発が指数関数的に少数のポイントを調査することでΘまで解決できるものではないことを示しています（こちらも参照）。$n=2^k$$\Theta$

時間複雑度関数は

$$\begin{cases} T(n)= O(1) \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + O(1) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + O(1)\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

漸近的な時間の複雑さに関心がある場合は、次のように書き換えることができます。

$$\begin{cases} T(n)= 1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + 1 \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + 1\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

それも知られていないこと、得られたTM （参照停止問題すべてについて）、N。したがって、nごとに停止するかどうかさえ知らなければ、当然、停止にかかる時間を測定することはできません。/math/2694/what-is-the-importance-of-the-collat​​z-conjectureも参照してください。$\langle M,1^n\rangle \in Halt$$n$$n$

Collat​​z予想は、1937年にCollat​​zが提案した非常に有名な予想です。多くの著名な数学者が、この予想を解決しようとするが、ほとんど役に立たないために数え切れないほどの時間を費やしました。PaulErdősでさえCollat​​zの予想について、「数学はまだそのような問題に対して準備ができていない」と言った。

$n$$odd$$n$$3n+1$

$T(n) = 2T(n/2) +n$$T(0)$$T(1)$

$3n+1$

nが偶数の場合、T（n）= T（n / 2）+ 1になります。ただし、n / 2は偶数ではない可能性が高いため、そこに留まっています。

起こることは、あなたが学んだ素敵な小さなルールが実際の問題に直面していて、それらが機能しないということです。彼らはレンガの壁にぶつかり、最初に顔を合わせると痛い。自分自身に賛成し、T（7）の再帰を手動でたどると、これがまだlg nに関連していると信じているかどうかがわかります。

7が偶数ではないため、これが元の質問に関連していないと思う場合：nが奇数の場合、T（n）= T（3n + 1）、3n + 1が偶数であるため、T（n）が対数nが偶数の場合、n> 1が奇数の場合は常にlog（3n + 1）+ 1になります。