フォームの力のすべてのバイナリストリング受け付けるDFA

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割り切れる2進数を受け入れるDFAを形成でき $n$ ます。

たとえば、2で割り切れる2進数を受け入れるDFAは、次のように形成できます。

同様に、3で割り切れる2進数を受け入れるDFAは、次のように形成できます。

明確に定義された手順に従って、これらのタイプのDFAを形成できます。ただし、の形式の数を受け入れるDFAを形成するためのロジックについて、より明確に定義された手順またはより適切な手順がありますか？ $n^k$

たとえば、DFAがという形式のすべての数値を受け入れることを検討してみましょう。この言語はなり、従って正規表現有する。次のようにDFAを作成できます。 $2^k$ $\{1,10,100,1000,...\}$ $10^*$

および同様のDFAを作成してみましたか？しかし、そうすることができませんでした。または、DFAの作成を可能にし、特定のの形式のすべての2進数を受け入れるDFAを形成できないという、バイナリの同等のパターンだけですか？ $3^k$ $2^n$ $n^k$ $n$

— マハ
ソース

私はあなたが答えていることを考えてここに

3

@Raphael、いや、それは

倍数用です。これは

べき乗についてです。

n

$n$

n

$n$

— DW

FYI（例えば、3の累乗を含む）collatzの関数は、変換器などの有限状態によって計算することができる等の力の整除としてのDFAによって計算されている他の「近く」機能があるかもしれません

— vzn

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これは、Pumping Lemmaを使用したその言語の迅速で汚い証明です、バイナリので構成されるが規則的でないものです（注：3進数で表すと規則的であるため、表現が重要です）。 $L$ $3^n$

Wikipediaの記事re Pumping Lemmaの表記を使用します。が規則的であるという矛盾を仮定します。してみましょうと任意の文字列（長ポンピング）。補題をポンピングすることにより、次のようにを記述しますおよびすべてのための。、と書きます $L$ $w \in L$ $|w| \ge p$ $w = x y z$ $|y| \ge 1, |xy| \le p$ $i \ge 0$ $xy^i z \in L$ $x$ $y$ 、および。したがって、 $z$ また、対応する部品の数値、および長さについて。数値的に我々はいくつかのため。同時に、数値的に $|x|, |y|, |z|$ $w$ $w = 3^{k_0}$ $k_0 \in \mathbb{N}$ $w = z + 2^{|z|} y + 2^{|z|+|y|}x$

z + 2^{| z |} y + 2^{| z | + | y |} x = 3^{k_{0}}

$z + 2^{|z|}y+2^{|z|+|y|} x = 3^{k_0}$

さあ、ポンポンしましょう $w$ すべてのために取得する $i \ge 0$

z + 2^{| z |} y (\sum_{j = 0}^{i - 1} (2^{| y |})^{j}) + 2^{| z | + i | y |} x = 3^{k_{i}},

$z + 2^{|z|} y \left( \sum_{j=0}^{i-1} (2^{|y|})^j \right) + 2^{|z|+i|y|} x = 3^{k_i},$

ここで、。私たちは、のために取得簡素化 $k_0 < k_1 < k_2 < \ldots$ $i \ge 1$

z + 2^{| z |} y (2^{i | y |} - 1) / (2^{| y |} - 1) + 2^{| z | + i | y |} x = 3^{k_{i}} .

$z + 2^{|z|} y (2^{i |y|} - 1) / (2^{|y|}-1) + 2^{|z|+i|y|} x = 3^{k_i}.$

してみましょう。次に、 $C = z - 2^{|z|} y / (2^{|y|}-1)$

3^{k_{i}} = 2^{| z | + i | y |} y / (2^{| y |} - 1) + 2^{| z | + i | y |} x + C .

$3^{k_i} = 2^{|z|+i |y|} y / (2^{|y|}-1) + 2^{|z|+i|y|} x + C.$

今、それを観察してください

3^{k_{i}} - 3^{k_{i - 1}} = (2^{| y |} - 1) (3^{k_{i - 1}} - C) .

$3^{k_i} - 3^{k_{i-1}} = (2^{|y|}-1)(3^{k_{i-1}} - C).$

したがって、なお。したがって、一方で、右側の絶対値は少なくとも $C (2^{|y|}-1) = 3^{k_{i-1}} (2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}).$ $|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$ 、これはと共に無限大になります。一方、は依存せず、定数です。これは矛盾を与えます。 $3^{k_{i-1}}$ $i$ $C(2^{|y|}-1)$ $i$

— デニス・パンクラトフ
ソース

理由を少し詳しく教えてください

本当ですか？この不平等だけでも矛盾に到達する可能性があるので、私は尋ねています

、でそれの両側を掛ける

、我々が得ます

| 2^{| y |} - 3^{k_{i} - k_{i - 1}} | \geq 1

$|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$

| 2^{| y |} - 3^{k_{i} - k_{i - 1}} | \geq 1

$|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$

3^{k_{i - 1}}

$3^{k_{i-1}}$

、したがって、

、（あなたの証拠に設けられた理由により）矛盾です。

| 3^{k_{i - 1}} 2^{| y |} - 3^{k_{i}} | \geq 3^{k_{i - 1}}

$|3^{k_{i-1}} 2^{|y|} - 3^{k_i}| \ge 3^{k_{i-1}}$

| C (2^{| y |} - 1) | \geq 3^{k_{i - 1}}

$|C (2^{|y|} - 1)| \ge 3^{k_{i-1}}$

— アントントルノフ2016年

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以来

、我々はその

は偶数で、

は奇数です。それらの違いは奇妙なので、絶対値で少なくとも1です。

| y | \geq 1

$|y| \ge 1$

2^{| y |}

$2^{|y|}$

3^{k_{i} - k_{i - 1}}

$3^{k_i - k_{i-1}}$

— Denis Pankratov

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これが（たとえば）バイナリ展開でのべき乗の言語に対して不可能であることを確認する1つの方法は、生成関数を検討することです。 $L$ $3$

、 $\sum_{k=0}^{\infty}n_kz^k$

ここで、、長さのワード数であるで。この関数は、任意の通常のに対して、有理であることが知られています。すなわち、商多項式です。特に、数値は、線形回帰をおよび $n_k$ $k$ $L$ $p(x)/q(x)$ $L$ $n_k$ $n_{k+p+1}=a_0n_k+\dots+a_{p}n_{k+p}$ $p\in\mathbb{N}$ $a_1,\dots,a_p\in\mathbb{Z}$ .

On the other hand, since $\log_2(3)$ is an irrational number in $(1,2)$ , we get that $n_k\in\{0,1\}$ for all $k$ , and the sequence $(n_k)_{k\ge 1}$ is not periodic. This gives a contradiction, since after at most $2^p$ steps, the values of $n_k,\dots,n_{k+p}$ have to repeat, and the recurrence would then lead to periodic behaviour.

— Klaus Draeger
ソース

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A complete answer to your question is provided by a (difficult) result of Cobham [2].

Given a numeration base $b$ , a set of natural numbers is said to be $b$ -recognizable if the representations in base $b$ of its elements form a regular language on the alphabet $\{0, 1, \dotsm, b-1\}$ . Thus, as you observed, the set of powers of $2$ is $2$ -recognizable since it is represented by the regular set $10^*$ on the alphabet $\{0,1\}$ . Similarly, the set of powers of $4$ is $2$ -recognizable -- it corresponds to the regular set $1(00)^*$ -- and the set of powers of $3$ is $3$ -recognizable -- it corresponds to the regular set $10^*$ over the alphabet $\{0,1,2\}$ .

A set of natural numbers is said to be ultimately periodic if it is a finite union of arithmetic progressions.

Two bases $b, c > 1$ are said to be multiplicatively dependent if there is an $r > 1$ such that both $b$ and $c$ are powers of $r$ : for instance $8$ and $32$ are multiplicatively dependent since $8 = 2^3$ and $8 = 2^5$ .

Theorem [Cobham] Let $b$ and $c$ two multiplicatively independent bases. If a set is $b$ -recognizable and $c$ -recognizable, then it is ultimately periodic.

In particular let $S$ be the set of powers of $3$ . We have seen that it is $3$ -recognizable. If it was also $2$ -recognizable, it would be ultimately periodic, which is certainly not the case for $S$ .

Cobham's theorem led to many surprising generalisations and developments. I recommend the survey [1] if you are interested.

[1] V. Bruyère, G. Hansel, C. Michaux, R. Villemaire, Logic and $p$ -recognizable sets of integers, Journées Montoises (Mons, 1992). Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 1 (1994), no. 2, 191--238. Correction in no. 4, 577.

[2] A. Cobham, Uniform tag sequences, Math. Systems Theory 6 (1972), 164--192.

— J.-E. Pin
ソース

Could you fix the references, please? Now they are both numbered [1] & [1].

— Anton Trunov