長方形のピースでカバーするNP硬度（Google Hash Code 2015 Test Round）

Googleハッシュコード2015テストラウンド（問題の説明）では、次の問題について尋ねられました。

入力：マークされた正方形がいくつかあるグリッド、しきい値、最大面積 $M$ $T \in \mathbb{N}$ $A \in \mathbb{N}$
出力：各長方形が少なくとも個のマークされた正方形を含み、各長方形が最大で面積を持つように、整数座標がである一連のばらばらの長方形の可能な最大の総面積。 $M$ $T$ $A$

Googleの用語では、グリッドはピザであり、マークされた正方形はハムであり、ばらばらの長方形はスライスです。

我々は明らかに、追加の入力を追加することにより、意思決定の問題にこの問題を修正してくださいすることができと答えは「総面積以上である条件を満たす互いに素長方形のセットがあること聞かせての正方形が」。 $n \in \mathbb{N}$ $n$

私の質問： Googleの問題は候補者に特定のインスタンスの計算問題に対して「できるだけ良い」解決策を見つけるように求めましたが、一般的な問題（その決定の言い回し）はNP完全である可能性が高いと思います。ただし、NP硬さを示すための削減は見つかりません。（NPメンバーシップは即時です。）この問題がNP困難であることをどのように証明しますか？

問題の視覚化に役立ついくつかの例を次に示します。検討によってグリッドマーク四角で、、及び、と図式表現マークされた正方形を示すには： $4$ $4$ $\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$ $(1, 1)$ $(0, 2)$ $(2, 2)$ X

..X.
.X..
..X.
....

セット（せいぜいの長方形四角）および（カバー全体グリッドこと）以下の矩形をとることである（矩形あたり少なくとも一つのマークされた四角）、最適解： $A = 6$ $6$ $T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

次のグリッドでは、およびです。 $A = 3$ $T = 2$

XXX
.X.
...

3つだけの正方形をカバーするよりも優れた方法はありません。

AAA
.X.
...

または

XBX
.B.
.b.

（パーティション内の長方形はオーバーラップできないことに注意してください）。

他の人がこの質問を見て、ビンパッキングからの削減、問題のカバー、3-SAT、ハミルトニアンサイクルの削減を試みましたが、どれか1つを機能させることができませんでした。

complexity-theory reductions np-hard

— a3nm
ソース

これは、MONOTONE CUBIC PLANAR 1-3 SATからの削減のスケッチです。

$\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$ $C_j$ $C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$ $C_j$ 真のリテラルが1つだけ含まれています。

グラフ内の変数を含む接続句が平面（PLANAR）であり、すべての変数が正確に3つの句（CUBIC）に含まれている場合（C. MooreおよびJM） Robson、単純なタイルを使用したハードタイリングの問題、Discrete Comput。Geom。26（2001）、573-590。

$T=3, A=6$

$A$ $+$ $-$

$x_i$ $x_i = TRUE$ $x_i = FALSE$

$C_j$ $L_{i,1}, L_{i,2}, L_{i,3}$

最後に、基になる平面グラフに従って信号を運ぶためのシフトガジェットとターンガジェットを作成し、エンドポイントを調整できます。

$H$ $A$

$H /3$ $A H / 3$

— ヴォル
ソース