硬度と還元の方向

問題Aが難しいことを知っているとしましょう。次に、Aを未知の問題Bに還元して、Bも難しいことを証明します。

例として、3色塗りが難しいことがわかります。次に、3色を4色に減らします。3色の色の1つを融合させると、4色になります。エルゴ4色は難しいです。

それが方法です。しかし、なぜこれが4色塗りが難しいという証拠なのでしょうか。4色問題の解決策を使用して3色問題を解決できるということですか？もしそうなら、どうですか？そうでない場合、なぜそれが有効な証明なのですか？

ボーナスq：多項式の削減は、両方の方法で実行できる必要がありますか？

編集：これがなぜそうであるかを例によって説明できる場合は、インターネットを支持してください。具体的な説明がどこにもありませんでした。

問題から減少別の問題にBは変換であるF任意のインスタンスのAのAインスタンスにF （）のBように、$A$$B$$f$$a$$A$$f(a)$$B$

場合あなたがに興味がある複雑さを保つ変換である（例えば、F、あなたが考える場合は多項式変換であるN P -hardness）のアルゴリズムが存在するA B解くBは解くアルゴリズムの存在を暗示Aを：それは十分にありますfを実行してから$f$$f$$\mathsf{NP}$$\mathcal A_B$$B$$A$$f$$\mathcal A_B$。

したがって、からBへのこのような減少の存在は、Bが$A$$B$$B$$A$ます。他の方法で削減する必要はありません。

たとえば、グラフの色付け。3色を4色に減らすことはできますが、すぐにはできません。あなたは、グラフ取る場合は、あなたが選択したF （G ）= Gを、あなたはその必要がありますxと∈ 3 C O L ⇒ F （X ）∈ 4 C O Lが、あなたは持っていないF （X ）∈ 4 C OをL ⇒ X ∈ 3 C O Lもちろん。結論は、等価$G$$f(G)=G$$x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$$f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$尊重されていないので、$(E)$$f$は縮小ではありません。

正しい還元構築することができるから3 C O Lをに4 C O Lが、もう少し複雑である：任意のグラフのG、聞かせてF （G ）であり、グラフGは、他のノードで拡張しました$f$$3\mathsf{COL}$$4\mathsf{COL}$$G$$f(G)$$G$$u$エッジに連結されています他のすべてのノードに。

• 変換は複雑さを維持します（ここでは多項式）。
• 場合である3 C O L次いでfは（G ）にある4 C O $G$$3\mathsf{COL}$$f(G)$$4\mathsf{COL}$：だけのために第4の色を使用します。$u$
• 場合にある4 C O Lあなたは除いてすべてのノードがあることを証明することができるuはない色有するUのを、したがってGがである3 C O $f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$$u$$G$$3\mathsf{COL}$。

これは、が減少であり、4 C O Lが3 C O Lよりも難しいことを証明しています。あなたは、同じ方法を証明することができ、N C O Lがより困難であるM C O Lの任意のためのn ≥ メートル、という事実があることは興味深い証拠3 C O Lが困難いずれよりもあるN C O Lを。$f$$4\mathsf{COL}$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$$m\mathsf{COL}$$n≥m$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$