入力インスタンスを制御できない場合、オラクルは役に立ちますか？

が問題のオラクルであるとしましょう。しかし、このオラクルを入力インスタンスで呼び出すことはできません。代わりに、を呼び出すたびに、ランダムなインスタンスとソリューションが返されます。したがって、私はが実際に任意の困難な問題を解くことができることを知っています、私はそれを解きたいものを特定することができません。 $F$ $\mathbb{NP}$ $F$ $F$ $\mathbb{NP}$

そのようなオラクルを使用して完全な問題をより速く解決することは可能ですか？オラクルを素朴に使用するには、すべてのソリューションをチェックするのに十分なオラクルを呼び出すことによって時間を必要とするため、私の直感はノーと言っています。これを証明する方法が思いつかない。 $\mathbb{NP}$ $O(2^n)$

complexity-theory np-complete

— マイク・イズビッキ
ソース

おそらく、この方法で質問を変更する必要があります：「...を呼び出すたびに、サイズランダムなインスタンスが均一な分布で返されます...」（は、アクセスできるTuringマシンの入力のサイズです））。

F

$F$

n

$n$

n

$n$

F

$F$

— Vor

@Vor、私はその規定を追加することも考えましたが、それが本当に違いをもたらすかどうかはわかりません。特定のインスタンスを取得するために多項式の数の呼び出しを許可するような分布であったとしても、大多数のインスタンスを取得するには、多項式の呼び出し以上のものが必要になります。重要なのは、特定のインスタンスに有利に分布するように分布を変更できないことです。

— Mike Izbicki 2012

私はあなたに同意しますが、制限なし/配布なしでは「ランダムなインスタンス」は意味がありません。

— Vor

「速い」とは「Pで」という意味ですが、代わりにBPPであるかどうかを尋ねることもできます。

— Xodarap 2012

@Xodarap私は、このようなオラクルを使用して、（仮定的に）より複雑なクラスをより弱いクラスに変換する方法にもっと興味があります。必ずしもNP-> Pである必要はありません。また、確率論的クラスがどのように役立つかは特にわかりません。

— Mike Izbicki 2012

回答:

Xodarapが指摘したように、「ランダムオラクル」を含むアルゴリズムで常に正しい答えを出力する必要がある場合、ランダムオラクルは役に立たない。エラーの小さな確率を許可すると、問題はより興味深いものになります（確率は、オラクルによって選択されたランダムなインスタンスに関するものです）。

また、Vorが質問のコメントで指摘したように、確率分布を指定せずに「ランダムなインスタンス」と言っても意味がありません。ここで行うべき妥当な仮定の1つは、このランダムなインスタンスが長さp（n）のすべての文字列のセットからランダムに一様に選択されることです。ここで、nは入力の長さで、pは固定多項式です。確率分布に関して、他のより弱い仮定を行うことができます。

ここでは、かなり一般的な仮定を行い、NP完全問題の「ランダムオラクル」を使用したランダム化多項式時間アルゴリズムの存在が、この弱い仮定の下でも驚くべき結果をもたらすことを示します。

「ランダムなオラクル」が（ランダムに選択されたインスタンスで）NPの問題を解決するという要件を削除しましょう。これで「ランダムオラクル」は、多項式長の文字列に対する任意の所定の確率分布になり、要求されるたびに、この確率分布に従って文字列を出力します。唯一の要件は、この確率分布が入力の長さにのみ依存することです。実際のモデルは、このモデルの特別なケースであることに注意してください。モデルでは、確率分布は次の形式である必要があります。まず、入力の長さに応じてセットから一様にランダムなインスタンスyを選択し、次にペア（y、g（y））を返します。ここでg：{0、1} *→{0、1}は、NPにおける決定問題の特徴的な関数です。分布が入力の長さのみによって決定される限り、確率分布を許可します。

この一般的な形式の「オラクル」は、ランダム化されたアドバイスと呼ばれます。ランダム化されたアドバイスを使用したランダム化された多項式時間アルゴリズムによって決定できる決定問題のクラスは、（制限付きの両側エラーを含む）BPP / rpolyと呼ばれ、このクラスはP / polyに等しいことが知られています。（包含BPP /rpoly⊆P/ polyは、よく知られている包含BPP⊆P/ polyと同じ方法で証明できます。後者の証明については、たとえばGoldreichの定理6.3 [Gol08]を参照してください。）

これは、NP完全問題がモデルで解決できる場合、NP⊆P/ polyであることを意味します。ただし、NP⊆P/ polyは、多項式階層が第2レベルに崩壊することを意味することが知られています[KW98、Cai07]。ほとんどの複雑性理論家は、多項式階層の崩壊を大きな驚きと見なしています。多項式階層が崩壊しないと私たちが信じる場合、NP完全問題はあなたの意味での「ランダムオラクル」では効率的に解決できません。

参考文献

[Cai07]ジンイカイ。S ₂^P ⊆ZPP ^NP。 Journal of Computer and System Sciences、73（1）：25–35、2007年2月。DOI：10.1016 / j.jcss.2003.07.015。

[Gol08] Oded Goldreich。 計算の複雑さ：概念的な視点。Cambridge University Press、2008年。

[KW98]ヨハネス・ケブラーと渡辺治。小さな回路を持つNPの新しい崩壊の結果。 SIAM Journal on Computing、28（1）：311–324、1998。DOI：10.1137 / S0097539795296206。

— 伊藤剛
ソース

みんなのお気に入りのNP完全問題である3SATについて具体的に考えてみましょう。

（可能性は低いですが）oracleを呼び出すたびに、同じインスタンスの割り当てが提供される可能性があります。具体的には、それがあなたに些細な文章の割り当てを与える可能性があるたびに：

（ バツ \lor バツ \lor バツ ） \land （ バツ \lor バツ \lor バツ ） \dots

$(x\vee x \vee x)\wedge(x\vee x\vee x)\dots$

しかし、あなたはすでにこれの割り当てを知っています。したがって、Oracleは役に立ちません。

$A$ $P^A\not=NP$ $P\not=NP$

— Xodarap
ソース

2つの3SATインスタンスが多項式時間短縮可能であることを意味しません。それらがランダムなインスタンスのオラクルを与えられて多項式時間削減可能であることだけ。正しい？

— Mike Izbicki 2012

明確化; 「ランダムインスタンスオラクル」の意味が理解できない場合は、お知らせください。

— Xodarap 2012

まあ、同じインスタンスの割り当てを取得するには、呼び出しの指数関数的な数がかかります。実際、私が解決しようとしている特定の問題への割り当てを取得するのと同じくらい多くの呼び出しが必要です！あなたはそのすべての仕事を捨てており、それを利用するためのいくつかの巧妙な方法があるかもしれません。

— Mike Izbicki 2012

@マイク：複雑さは最悪のシナリオに関係しています。最悪の場合、オラクルは役に立たないので（上記のように）、それだけを知る必要があります。

— Xodarap 2012