プログラム分析で最小固定小数点（lfp）が重要である理由

プログラム分析における最小不動点（lfp）の重要性についての全体像を把握しようとしています。たとえば、抽象的な解釈はlfpの存在を使用しているようです。プログラム分析に関する多くの研究論文も、不動点を見つけることに重点を置いています。

より具体的には、ウィキペディアのこの記事：Knaster-Tarski Theoremは、lfpがプログラムのセマンティクスを定義するために使用されると述べています。

どうしてそれが重要ですか？どんな簡単な例でも私を助けてくれます。（私は全体像を取得しようとしています）。

編集

私の言い回しは間違っていると思います。lfpの重要性については触れません。私の正確な質問（初心者）は：lfpの計算はプログラム分析にどのように役立ちますか？たとえば、なぜ/どのように抽象的な解釈がlfpを使用するのか？抽象ドメインにlfpがない場合はどうなりますか？

うまくいけば、私の質問はより具体的になりました。

programming-languages finite-model-theory fixed-point

— 羊
ソース

@DWこれはプログラム分析の初心者向けの質問です。質問が曖昧すぎる場合は、投稿する前に何度か自分で議論しました。私が探しているのは、プログラム分析においてlfpが果たす役割です（それは確かに重要ですが、どのようにですか？）私は多くの数学の詳細を掘り下げない答えを探しています。私の質問の文言も明確ではないと思います。質問を編集します。

— Ram

@DW私はこれがよく研究された質問ではないかもしれないことに同意します。しかし、論文を読み続けると、数学の詳細が多くなり、全体像をすぐに失ってしまいます。たとえば、より具体的には、この論文[Control-Flowの拡張 ]（berkeleychurchill.com/research/papers/vmcai14.pdf）は、私には非常に抽象的に見えます。それは、最小不動点の計算に直接訴えます。プログラム分析の論文のほとんどは、同様の行でこの質問に関係しているようです。全体像を失った。lfpの計算が重要である理由を知りたいと思います。

— Ram

回答:

プログラミングにおける再帰または反復の形式は、実際には固定小数点です。たとえば、whileループは次の方程式で特徴付けられます

while b do c done  ≡  if b then (c ; while b do c done)

つまりどのwhile b do c doneソリューションであるW式の

W  ≡  Φ(W)

どこΦ(x) ≡ if b then (c ; x)。しかし、多くの固定小数点Φがある場合はどうなりますか？どちらがループに対応していますか？プログラミングのセマンティクスの基本的な洞察の1つは、それが最小の不動点であるということです。while

簡単な例を挙げましょう、今回は再帰です。Haskellを使用します。fによって定義される再帰関数

f :: a -> a
f x = f x

それは永遠に実行されるだけなので、どこでも未定義の関数です。この定義をより珍しい方法で書き直すことができます（ただし、Haskellでは引き続き機能します）。

f :: a -> a
f = f

これfが恒等関数の固定点です。

f ≡ id f

しかし、すべての関数はの固定小数点ですid。通常のドメイン理論の順序では、「未定義」が最小の要素です。そして確かに、私たちの関数fはどこでも未定義の関数です。

while $n$ $x_1, \ldots, x_n$ $V$ $V^n \to V^n \cup \{\bot\}$ $(v_1, \ldots, v_n) \in V^n$ $\bot$ $V^n$ $V^n \to V^n \cup \{\bot\}$

$V^n \cup \{\bot\}$ $\bot$ $V^n$ $V^n \to V^n \cup \{\bot\}$
$\bot$ while true do skip done
増加するすべてのシーケンスには上限があります

これがどのように機能するかを理解するために、プログラムのセマンティクス

x_1 := e

$(v_1, \ldots, v_n) \in V^n$ $v_e$ e $(v_1, \ldots, v_n)$ $(v_e, v_2, \ldots, v_n)$

— アンドレイ・バウアー
ソース

whileの例では+1。しかし、私は少し混乱しています。 But what if Φ has many fixed points?固定小数点方程式を理解していますが、この文脈では、WはLですか？ここでラティスをどのように定義しますか？それについてさらに詳しく説明していただき、ありがとうございます。

— Ram

上記のコメントでは、「L」を使用してラティス（またはposet）を表しています

— Ram

答えを修正しました。

— Andrej Bauer

更新していただきありがとうございます。プログラムを見るという別の見方ができたので、特に感謝しています。私は現在、ニールソンの「アプリケーションのセマンティクス：正式な紹介」から「固定小数点理論」を読んでいます。

— Ram

これが直感です：最小固定点はループの分析に役立ちます。

プログラム分析には、プログラムの実行が含まれますが、データの一部の詳細が抽象化されます。これはすべて良いです。抽象化により、分析を実際にプログラムを実行するよりも速くすることができます。これにより、気にしない部分を無視することができます。たとえば、それが抽象的な解釈のしくみです。基本的にプログラムの実行をシミュレートしますが、プログラムの状態に関する部分的な情報のみを追跡します。

トリッキーなのは、ループに入るときです。ループは何度も実行される可能性があります。通常、プログラム分析でループのすべての反復を実行する必要はありません。これは、プログラム分析に長時間かかるか、終了しない場合があるためです。つまり、ここで最小の固定小数点を使用します。ループが何回繰り返されるかわからない場合、最小不動点は基本的に、ループが終了した後に確実に真になると言えることを特徴付けます。

これが、最小不動点の使用目的です。ループはプログラム全体に存在するため、プログラムの分析全体で最小固定点が使用されます。ループはどこにでもあるため、最小固定点が重要であり、ループを分析できることが重要です。

ちなみに、再帰と相互再帰はループのもう1つの形式です。そのため、これらもあまり固定点で処理されない傾向があります。

— DW
ソース