決定不能な問題とその否定は決定不能

それにもかかわらず、多くの「有名な」決定不能な問題は、少なくとも半決定的であり、それらの補数は決定不能です。何よりも1つの例は、停止する問題とその補完です。

しかし、問題とその補数の両方が決定不可能であり、半決定不可能である例を誰かに教えてもらえますか？対角化言語Ldについて考えましたが、補数が決定できないとは思えません。

その場合、チューリングマシンMは識別しようとしている言語の一部であるため、代わりに認識される必要がある文字列を「失う」ことができるということですか？

次の言語を検討してください。

$$L_2 = \{(M_1,x_1,M_2,x_2) : \text{$M_1$ halts on input $x_1$ and $M_2$ doesn't halt on input $x_2$}\}.$$

M 2 x 2 L 2 L 2 M $L_2$は決定不可能であり、半決定的ではなく、その補数についても同様です。どうして？直観は、「は入力停止しない」は半決定的ではないため、は半決定的ではありません。の補集合を見ると、でも同じことが起こります。これは、リダクションを使用してより慎重に形式化できます。$M_2$$x_2$$L_2$$L_2$$M_1$

より一般的には、が決定不能で半決定不可能な言語である場合、$L$

$$L' = \{(x,y) : x \in L, y \notin L\}$$

：あなたの要件を満たしている決定不能と半決定可能ではない、と同じことがの補数の真実であるL "。$L'$$L'$

圧倒的多数の問題が、探している基準に適合していることに注意してください。問題とその補完は両方とも半決定的ではありません。これは、半決定可能な問題は数え切れないほど多くありますが、数え切れないほど多くの問題があるためです。

たとえば、をチューリングマシンの停止問題とし、MをHのオラクルを持つチューリングマシンのクラスとし  ます。してみましょうH 2がために停止問題も  M。私はどちらと主張しているH 2も  ¯ H 2は半決定可能です$H$$\cal{M}$$H$$H_2$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$

私たちは、ことを示すことができる内の任意のマシンによって決定されていない  M：引数は、通常のチューリングマシン停止問題という議論と同じである  Hは、任意の通常のチューリングマシンによって決定されていません。ここで、矛盾のために、H 2  が通常のチューリングマシンTによって半決定される  と仮定します。Hのオラクルを   使用すると、MのマシンがH 2を決定  しないという事実に反して、特定の入力に対してTが停止する  かどうかをテストできます。したがって、H 2  は半決定的ではありません。$H_2$$\cal{M}$$H$$H_2$$T$$H$$T$$\cal{M}$$H_2$$H_2$

これは、ことを示すために残っ半決定可能ではありません。まず、Mのマシンによって半決定されることに注意してください  。ここでも、引数は 通常のチューリングマシンによって半決定されるHと同じです。¯ H 2  の一部の機械によって半決定できない  Mがあった場合、ためH 2及び  ¯ H 2内のマシンによって半決定されるであろう両方  M両方の言語は、内のマシンによって決定されるであろうように、  M。しかし、H 2  はMのどのマシンによっても決定されないことが  すでにわかっています。したがって、$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\cal{M}$$H_2$$\cal{M}$  半決定における任意のマシンによるものである M。さらに、 ¯ H 2があるため、半決定任意の通常のチューリングマシンによるものであり、Mは すべての通常のチューリングマシンを含んでいます。（通常のチューリングマシンは、そのオラクルを決して使用しないH用のオラクルを持つチューリングマシン です。）$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$

自然な例を次に示します。

• すべての入力で停止するすべてのチューリングマシンの言語。TOTと呼ばれることもあります。この言語はある -complete。$\Pi_2^0$

• すべてのチューリングマシンの言語は、INFと呼ばれることもある無限に多くの入力で停止します。この言語もある -complete。$\Pi_2^0$

• 任意の長い入力で停止するすべてのチューリングマシンの言語（COFと呼ばれることもあります）。この言語はある -complete。$\Sigma_3^0$

及び Σ 0 3は、のレベルである算術的階層。完全性の結果は、特に、これらの言語が半決定性​​でも半決定性でもないことを意味します。$\Pi_2^0$$\Sigma_3^0$