このランダムな有向グラフのモデルは研究されましたか？

Youtubeは最近、自動再生と呼ばれる機能を追加しました。各クリップには、それに続く（おそらく関連する）クリップが割り当てられています。これは、実際には、一連のYouTubeクリップの有向グラフを定義します。各頂点の次数は1です。ユーザーは、選択した頂点から開始し、このグラフに沿って歩きます。

これは私に考えさせられました。グラフは有限であるため、ユーザーは最終的にループに陥ります。各ループはシンクとして機能し、各頂点は最終的にユーザーを何らかのシンクに導きます。これはいくつかの疑問を投げかけます-シンクはいくつありますか？ユーザーがループに到達するまでに何ステップかかりますか？シンクサイズの分布はどのようになっていますか？等々。

これは、このプロセスをモデル化するために使用できるランダムグラフモデルです。各頂点に対して、単一の近傍をランダムに均一に選択し、エッジをグラフに追加します。このモデルの特性を調査し、それらがYouTubeネットワークについて何か教えてくれるかどうかを確認することは興味深いかもしれません。このタイプのものを以前に見たことがありますか？$v$$w$$(v,w)$

これは少し予期しないかもしれませんが、はい、これは少なくとも1つの特定のコンテキストで調査されています：PRNG。PRNGは、有向グラフ、特に「現在の値、次の値」の関数グラフ（すべての頂点、単一の次数）として視覚化できます。ただし、ほとんどのPRNGは単一の非常に長いサイクルを持つように設計されています。複数の埋め込みサイクルを持つPRNGの分析がいくつかあります。例えば：

• ランダムサイクル長 /霧のカオス乱数ジェネレーター

サイクル検出に関する理論もいくつかあります（例：Tortoise / Hare and Brentsアルゴリズム）。「ランダム」関数グラフが研究されている他のコンテキストは見つかりませんでした。あなたの定義は頂点が接続されていることを保証していなかったことに注意してください、それがあなたが意図したものであるかどうかはわかりません。独立した切断されたグラフが接続される前に配置する必要のあるエッジの数についての理論があります。エルドスはこの分野の研究をエルドスレニモデルの無向グラフで行い、離散数学理論における相転移の初期の発見の1つとして有名です。あなたが説明するランダム関数グラフは、Erdos Renyiモデルの特殊なバージョンと見なすことができます。

ループに陥る前に予想される長さについて何かを言うのは非常に簡単ですビデオがある場合、ループする前に（ランダムビデオから開始して）予想ビデオを取り込みます。周り（実際の値は約）。ビデオをランダムに描くたびに、これは事実上誕生日の問題です。$n$$\Theta(\sqrt{n})$$1.25\sqrt{n}$

ビデオのチェーン内の各ビデオはループバックする可能性が高いため、ループの平均の長さもビデオです（実際の値）。$\Theta(\sqrt{n})$$\Theta(\sqrt{n})$$0.625\sqrt{n}$

これにより、ランダムビデオから開始した後のループの予想される長さがわかります。これは、多くのビデオが含まれているループがより強くカウントされることを意味します。代わりに、ランダムループを選択した場合に予想されるループの長さを知りたい場合、これはとして見つけることができます。ここで、$T(1)$

および。の値を実験的に計算すると、と一致するように見えるため、予想されるループの長さをカウントする両方の方法は同じです。$T(n)=\frac{n+1}{2}$$T$$0.625\sqrt{n}$

予想されるサイクル数の計算は、より難しい問題のようです。所定の長さの予想サイクル数を数えることから始めます。おそらくノードは長さ1サイクルの一部であることであるそれほど期待であり、長1サイクル。ノードが長さ2のサイクルにある確率はであるため、期待は length-2サイクル。一般に、長さのサイクル数はです。$\frac{1}{n}$$1$$\frac{n-1}{n}\frac{1}{n}$$\frac{1}{2}\frac{n-1}{n}$$l$$\frac{1}{l}\Pi_{i=1}^{l-1} \frac{n-i}{n}$

つまり考慮することにより、サイクル数の上限を取得でき。残念ながら、サイクル数はに収束していないようなので、この制限は厳しくありません。$\Sigma_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n$$O(\log n)$$\log n$