非決定的オートマトンの停止問題の定義

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少なくとも私自身の参考教科書（Hopcroft + Ullman 1979）にあるチューリングマシン（TM）の主要な定義は決定論的です。

したがって、停止問題についての私自身の理解は主に決定論的TMについてですが、他の種類のオートマトンについても考慮される可能性があることは承知しています。

また、決定論は、人々がしばしばTMまたは停止する問題に言及する方法において、多かれ少なかれ暗黙的であることにも気づきました。停止する問題に関するウィキペディアのページはその良い例です。

しかし、そのような制限の理由はないようです。家族を考える、のための停止問題非決定することができオートマトンのとして定義することができます。 $\mathcal F$ $\mathcal F$

均一な決定手順は、そこにある、その与えられたオートマトンと入力、それはの停止計算があるかどうかを決定することができます入力上の。 $A\in\mathcal F$ $x$ $A$ $x$

（これは、入力を使用したの計算が終了と言うこととはまったく異なります。） $A$ $x$

確かに、それは主に非決定的オートマトンである線形境界オートマトン（LBA）の停止問題についての議論に何らかの意味を与える唯一の方法のようです。

だから私の質問は、私が正しいかどうか、そして非決定的オートマトンの停止問題のこの見かけ上2番目のクラスの扱いに理由（およびその理由）があるかどうかです。

— バブー
ソース

この質問で何かがおかしいと思う場合は、それが何であるかを教えてくれるように親切にしてください。そうすれば、すべてのユーザーの知識を活用して投稿を改善できます。ありがとうございました。

— babou

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非決定的モデルのホールティング問題により少ない労力を費やすと思ういくつかの理由があります。

1つ目は、実際には、NDモデルには2つの関連する停止問題があるということです。入力と非決定的マシン与えられた場合： $x$ $M$

停止するでの有効な実行はありますか？ $M$ $x$
有効な実行が存在しない上停止しないのですか？すなわち、すべての有効な実行が停止しますか？ $M$ $x$

決定論的マシンの場合、入力有効な実行が1回だけであるため、これらは同一です。ただし、非決定的マシンの場合、複数回実行される場合があります。どちらに興味があるかは、アプリケーションによって異なります。 $M$ $x$

第二に、非決定論的モデルはすでに非現実的です。どの経路を取るかを指示する魔法の箱があるか、何らかの形の無限並列性があると仮定しています。非決定的チューリングマシンと決定論的チューリングマシンのパワーは同等であるため、ほとんどの場合、停止を心配する前にマシンを決定的マシンに変換するだけです。

これの拡張として、非決定論的マシンについて何かを証明することは、同等の決定論的マシンについて何かを証明することと少なくとも同じくらい難しいので、気にしません。決定論的な停止問題の解決策がないことは既にわかっているので、それが本当に役立つのは、削減によって決定できない他の問題を証明することです。また、非決定論的な停止問題よりも簡単であるため、決定論的な停止問題を軽減する作業は常に少なくなります。

— jmite
ソース

「しかし、非決定論的なマシンの場合、複数の実行が存在する可能性があります。どの実行に関心があるかは、アプリケーションによって異なります。」このステートメントを例で説明できますか？次に、「停止することを心配する前に、マシンを決定論的なマシンに変換するだけです」と述べます。LBAの場合はどのように行われますか？

— babou

LBAは非決定的チューリングマシンのサブセットであるため、通常の方法を使用して常に決定論的チューリングマシンに変換できます。特定のプロパティを持つマシンに変換するために使用できる特別な構造があると思うので、LBAから得られる追加の推論能力を維持できます。呼び出しスタックが指数関数的に大きくなる可能性があることを除いて、線形空間が使用されるバックトラッキングアルゴリズムのように見えると思います（よくわかりませんが、調べなければなりません）。

— jmite

複数のパスのために、二つのマシンを検討、入力に常に停止1、およびの場合と決して1。ブール値を非決定的に選択することで開始する新しいLBAを作成できます。trueを選択すると、入力xでが実行されます。falseを選択すると、が実行されます。trueとfalseの各選択は、異なる「実行」です。このマシンは停止しますか？そこには、上で停止し、パスが存在する、それは読んですべてのパスのために停止しません。

M_{1}, M_{2}

$M_1, M_2$

x

$x$

x

$x$

M

$M$

M_{1}

$M_1$

M_{2}

$M_2$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— jmite

1

@HendrikJan NLBAの停止は、サビッチの定理でむしろ対処されているようです。しかし、線形境界を二次境界に変更します。

— babou

1

@Raphaelこれが意味することは、問題決定できないことを示すために、を使用して別の決定できない問題をシミュレートできることを示しているということです。DTMからNTMへの単純な単射マッピングがあるため、NTMの停止による減少は、DTMの停止による減少でもあります。通常、シミュレートしようとしている難易度の低い問題であるため、DTMの停止から削減する作業は少なくなります。

P

$P$

P

$P$

— jmite

4

停止する問題は典型的な完全な問題です。 $\Sigma_1$

$H(P,x) \leftrightarrow \exists c \, \text{ s. t. $c$ is a halting computing of $P$ on $x$}$ 。

これは、定義が正しいことを示唆しています。一般に、すべての -complete定義は「正しい」です。 $\Sigma_1$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

残念ながら、算術階層についてはほとんど何も知りません。が半決定的な問題を表していることを理解して正しいですか？ものについて：。実存的および普遍的な数量化は異なるクラスに終わるように見えるので、私は尋ねていますが、それはすべて私にとってもやもやです。も半決定可能です。

Σ_{1}

$\Sigma_1$

K (P, x) \leftrightarrow \forall c, c is a computing of P on x ⟹ c is halting.

$K(P,x)\leftrightarrow\forall c, c\text{ is a computing of $P$ on $x\implies c$ is halting.}$

K

$K$

— babou

それはあなたが答えることを恐れていたものです。私はそれについて半決定手順を持っていると思うので尋ねました。そのため、私の証明が間違っているか、問題を間違って形式化しました。基本的には、入力上の非決定論停止することをjmiteの提案であるあることにすべての計算を必要によって定義できる停止を。そして、私はこれまで半決定を下したと信じていました。

x

$x$

x

$x$

— babou

実際、あなたの定義は別の理由で良くありません： " is halting"とはどういう意味ですか？どちらかといえば、アプリオリな不完全な計算であるが実際に完了しているということです。その場合、を空の計算にすることができるため、は決して真になりません。それ以外の場合、の記述が有限であることは明確ではありません。また、述語「は停止している」が計算可能かどうかも明確ではありません。

c

$c$

c

$c$

K (P, x)

$K(P,x)$

c

$c$

c

$c$

c

$c$

— ユヴァルフィルマス

実際、問題はが、おそらく -completeにはありません。

Π_{1}

$\Pi_1$

Π_{1}

$\Pi_1$

— ユヴァルフィルマス

ありがとう、そして私の素朴な読書をごめんなさい。あなたが使ったは「完全な」計算を表していると思いましたが、これは明らかに定量化された領域のエラーです。可算ドメインのみを使用でき、非決定的TMの一連の非停止計算は適格ではないと思います。また、量指定子は計算可能性がどれほど悪いかを教えてくれると思いますが、それがそれほど悪いという保証はありません。したがって、jmiteの提案は必要な「フォーマット」で直接的な方法で簡単に表現できないようですが、私の半決定手順は正しいかもしれません。

c

$c$

— babou

2

あなたは、非決定的マシンの停止問題の「見かけ上の第2クラスの扱い」があると言います。チューリングスが決定論的TMを作成してからしばらく経つまで、非決定論は歴史的に考慮されなかったようです。これは、この分野の研究の焦点と関係があるかもしれません。ただし、ここでの主なポイントは、非決定論的問題を決定論的問題に簡単に還元できるため、「一般性を失うことなく」決定論的問題を研究するだけです。

さらに、ここでの「2番目のクラス」の考え方に対抗するのは、非決定論的なマシンの停止問題を研究し、有用な/深いつながりを見つける少なくとも1つの参考文献です。CS研究が非常に広範/専門的であるという線に沿ったいくつかの状況証拠、時には一部の開始研究がほとんどの領域で行われ、一見狭いようにさえ思えます。そしてまったく逆に、非決定論はCSの非常に深い/遍在する/横断的な概念のようです（P vs NPのような重要な未解決の質問がそれにあります）そしてその側面は将来も長く続く可能性があります。

パラメータ化された停止問題 / Chen、Flum

概要。パラメーター化された問題p-Haltは、入力として非決定性チューリングマシンMと自然数nを取ります。Mのサイズはパラメーターです。空の入力テープでMの実行を受け入れるたびにnステップ以上かかるかどうかを尋ねます。この問題は、クラスXPuni、クラス「ユニフォームXP」にあります。これは、それを決定するアルゴリズムが存在する場合、固定マシンMではnの時間多項式で実行されます。理論的なコンピューターサイエンスのさまざまな分野のさまざまな未解決の問題は、p-Halt∈XPuniに関連するか、同等であることが判明しています。したがって、このステートメントは、一見無関係であると思われる異なる領域（証明理論、複雑性理論、記述的複雑性など）のステートメント間の等価性を導き出すことを可能にするブリッジを形成します。プレゼンテーションが示すように、

— vzn
ソース

2

手短に

古典停止問題は（のようないくつかの主要な数学の質問に答えるという事実以外に、決定性チューリングマシンの古典1ない設定に停止問題を無視することは良い理由はないように思わ Entscheidungsproblemをバリアントのみであるが、）興味深い（？）技術的な問題ですが、基盤への影響は少ないです。

以前の回答で与えられたいくつかの議論を検討した後、非決定的オートマトンの場合の「非決定的」停止の可能な定義について、jmiteによる2つの提案を分析および比較します。問題は、単一の計算で停止が意味することを定義することではなく、特定の入力特定の非決定的オートマトンの可能な計算のセットに対して意味すべきことを定義することです。これは、非決定的オートマトンで停止する問題を定義するための基礎として役立ちます。 $A$ $x$

jmiteの答えによれば、この非決定的な停止は、少なくとも1つの停止計算の存在に対応するものとして定義することができます（実存停止）、あるいはすべての可能な計算を停止することを要求すること（ユニバーサル停止）に定義できます。これらの2つの定義は、非決定的停止問題の2つの異なる定義に対応しています。

チューリングマシンの場合、2つの定義は、ダブテイルによってマシンを決定する2つの異なる方法に対応することを示します。このことから、非決定的停止問題の2つのバリアントは、いずれも古典的な決定的停止問題とチューリング等価であると推測します。

ただし、これらの各停止の定義は、チューリングマシンによって認識される言語の対応する定義に直接関連しており、この関係は一貫した定義を選択するという条件で簡単に表現できることも示します。

したがって、非決定的オートマトンによって認識される言語の通常の定義を考えると、非決定的停止の自然な定義は、元の質問で提案されているように、実存的な停止です。

この分析の大部分は当然、他のタイプのオートマトンにも拡張されますが、チューリングマシンほど強力ではないファミリではダブテール構造が利用できないことがよくあります。

前書き

既存の回答を考慮して、それについてさらに考えた後、私の質問に部分的に回答するので、私はこれを回答として書いています。また、この場合、3つの回答の後に質問を編集すると問題が混乱する可能性があります。それを避けるため、質問は元々書かれたままにしておきます。

まず、与えられた答えに対する私の意見の不一致について説明します。ポイントは、私の質問に答えようとする公正な試みをdis辱することではなく（すべての回答に感謝します）、技術的なポイントを議論または論争することによって問題の最下位に到達することです。

元の質問には文脈や動機付けはほとんど必要ないと思います。停止問題は、一方でオートマトンについて私たちが尋ねる主要な質問の1つであり、非決定性は、一方で多くのオートマトンの非常に一般的で有用な機能の1つです。さらに、非決定性は、証明を単純化するための一般的な理論的デバイスではなく、少なくともこの記事の執筆時点では、線形有界オートマトン（LBA）などの一部のオートマトンの必須機能です。

したがって、非決定的オートマトンの場合、停止する問題に意味があるのか、それとも優先する意味があるのか、疑問に思うのはごく自然なことです。

非決定論的停止問題は適切に対処されていますか？

私の質問は、なぜ非決定的オートマトンの停止問題が二級扱いを受けているように思われるのか、vznによるダウンボートと回答を生み出したのです。vznによって答えは本当に多くの長いコメントで、 "と主張非決定性はCSでの非常に深い/ユビキタス/横断的な概念です「これは疑いの余地がありません。また、非決定的マシンの停止に関するいくつかの研究への言及もありますが、これは驚くことではありませんが、実際に私のポイントに対処していません。私は参考教科書（Hopcroft + Ullman 1979）で説明されていませんが、多くの場合、決定論的オートマタ（通常はチューリング）を検討していると思われます。参照定義が確定的であるマシン。

たとえば、LBAの停止の問題を決定できるのはなぜですか？Yuval Filmusは、LBAは非決定論的なデバイスであるという回答を忘れていましたが、4語のコメントで見事に保存しました。

この問題は一般に十分に対処されていないという事実の最後の証人として（いくつかの専門的な研究にもかかわらず）、ここで問題を議論する必要があるという事実を呼び出します。

jmiteからの答えは、それがうまく対処されない理由を実際に説明しようとする唯一の答えです。彼の最初の議論は2つの可能な定義があるということですが、この状況はどちらの定義が最も適切であるかを決定するためにより多くの分析をむしろ奨励するべきだと思います。以下でそれを試みます。

彼はまた、非決定論的TMは常に同等の決定論的TMに変換できるため、非決定論的ケースで停止の問題を心配することはあまり意味がないことを示唆しています。私は完全には納得していませんが、多くの人がそれを正当な理由として認識しているかもしれません。ただし、決定論的LBAが非決定論的LBAと同等であるかどうかは未解決の問題であるため、引数は線形有界オートマトン（LBA）には適用されません。また、決定性サブファミリーが非決定性ファミリー全体（PDAなど）よりも弱いオートマトンファミリーもあります。

また、最後の点にも同意せず、決定論的マシンの方が証明が簡単であるため、非決定論的停止に関係するべきではないと主張します。Raphael はコメントでこれに反対しました：「私は通常、より困難な問題の軽減を容易に見つけます」。実際、多くのタイプのオートマトンでは、非決定性バージョンは主に、そのタイプのオートマトンへの縮小などの証明を単純化するのに役立ちます。jmite自身が示唆するように、さらに2つの形式の停止を使用することは、問題に対処する柔軟性が高まるため、利点と考えることさえできます。

非決定的停止問題の定義について

_{注：以下のテキストでは「ユニバーサル」という語の使用は、を参照ユニバーサル定量化しないように、ユニバーサルチューリングマシン}

jmiteからの答えは最も詳細です。

この答えは、2つの異なる方法で定義できるため、非決定的オートマトンが停止問題の労力を軽減すると推測します（用語は私のものです）。

実存的停止：入力にオートマトン停止計算がありますか？ $M$ $x$
普遍的な停止：入力にオートマトン計算を停止するだけですか？ $M$ $x$

私が適切であると提案した唯一の定義は実存的な停止です。

命題1：非決定的オートマトンが入力で普遍的に停止している場合、その入力では有限数の停止計算しかできません。 $x$

証明：これは、各ステップで考えられる非決定的な選択の数が特定のオートマトンに対して制限されているため、ケーニヒの補題で簡単に証明されます。無限に多くの停止計算がある場合、各構成をそれにつながる計算パスのそれぞれでラベル付けすることができます。これにより、無限に多くのノードを持つ計算グラフが作成されますが、各ノードで有限の非決定的分岐のみが作成されます。Königの補題により、これは、非停止計算に対応する無限計算パスの存在を意味します。

（非決定的）チューリングマシンの場合

それでは、非決定的チューリングマシン（NTM）の場合の停止を調べてみましょう。

二つの定義を分析するために、最も単純なように、達成することができ、非決定論マシンの決定論的バージョンを検討する確かであるヘンドリック月でリコール可能なすべての計算のdovetailingによっては、。

しかし、通常は1つだけが考慮されますが、（少なくとも）決定化のために計算をダブテイルする2つの方法があります：

すべての計算を並行してシミュレートし、シミュレートされた計算の1つが終了すると終了する実存的ダブテール決定。
すべての計算を並行してシミュレートし、シミュレートされた計算のすべてが終了した場合にのみ終了する、万能ダブテール決定。しかし、何らかの方法で終了する計算を列挙したり、カウントしたりすることが考えられます。

命題2：

非決定的TMは、入力実存的に停止します。、その実存する決定性は、入力で停止するTMです。 $M$ $x$ $M_\exists$ $x$
非決定性TM普遍入力で停止されのユニバーサルdovetailing determinization場合に限っ TMでの入力に停止している。 $M$ $x$ $M_\forall$ $x$

証明：実存の場合の証明は明白です。普遍的なケースの場合、すべてが停止している有限数の計算をシミュレートする場合、普遍的なアリ溝式決定は停止します。非決定的TM与えられ、入力で普遍的に停止する場合、命題1により、有限数の個別の計算のみがあり、すべて停止します。したがって、その普遍的なはめ込み決定は、入力停止します。その逆は簡単です。 $M$ $x$ $M_\forall$ $x$

定理3：決定論的TMの停止問題、および非決定的TMの実存的および普遍的な停止問題はチューリングと同等です。

証明：これは、命題2と、確定的TMが非確定的TMのサブセットであり、実存的および普遍的な停止が単純な確定的停止に減少するという事実に起因します。

したがって、計算可能性の観点から、そして私はシンボルを押して観点から言うように誘惑されますが、非決定論的停止問題に対してどの定義が選択されているか、実存的か普遍的かは本当に問題ではないようです。

NTM停止の定義を1つ選択する理由

しかし、元のオートマトンによって認識された言語を保持しない決定プロセスには多くの意味がありますか？

言語認識における非決定性の使用の本質は、それが、受け入れにつながるものがある時はいつでも右の計算パスを推測することになっているOracleの前提としていることである 根本的実存のビューを。

非決定的計算では、停止時と非停止時の拒否に違いはありません。どちらの場合も、結論を引き出すことはできません。停止時の拒否を非停止無限ループで置き換えても、認識される言語は変更されません。これは、NFAを含む、考えられるすべての非決定的オートマトンに対して実行できます（失敗状態にループする遷移を追加するだけです）。これは決定論的オートマトンにも当てはまります。ただし、LBAで通常行われるように、入力の終わりを示す特別なシンボルが存在する場合に限ります。 $\epsilon$

したがって、停止による受け入れは、非決定的オートマトンの受け入れの標準形式と見なされる場合があります。

この標準的な見解を考慮すると、停止する問題は認識問題と同等に表現することもできます。

チューリングマシンによって認識される言語与えられた場合、かどうかを任意の単語について決定できる統一された手順はありますか？ $L$ $M$ $x$ $x\in L$

これは、再帰的列挙と停止問題との密接な関係を証明しています。入力でのTM停止の決定と、認識する言語での封じ込めとのこの同等性は、非決定的停止の実存的定義を考慮すれば、決定論的TMと非決定論的TMの両方に当てはまります。 $M$ $x$ $x$ $M$

ただし、普遍的な停止の場合、この密接な関係は失われます。同様のステートメントを作成できますが、NTMによって認識される言語とは異なる言語（または、NTMによって認識される言語の別の普遍的な定義）についても可能です。

理論を開発する場合、最も単純で最も目立つ形式で構造と関係を強調するために、一貫した定義を使用することが不可欠です。この場合、他の定義との一貫性から、実在的停止が非決定的チューリングマシンの停止の自然な定義であることが示唆されていることは明らかです。

もちろん、普遍的な停止の分析には常に興味があるかもしれません。同様に、入力すべての計算が停止して受け入れられる場合にのみ文字列が受け入れられるという要件に基づいて、NTMのユニバーサル受け入れの理論を開発することもできます。しかし、どうやら、それはチューリング機械の理論の大きな問題とはみなされていません。 $x$ $x$

オートマトンの他のファミリーの場合

上記の分析の一部は、非決定性オートマトンのほとんどのファミリに拡張できません。たとえば、プッシュダウンアトマトン（PDA）は、決定論的なPDAが認識できない言語を定義する場合があります。同じことがLBAにも当てはまる場合があります。他の部分は、すべての非決定的ファミリに拡張できます。

非決定的停止の定義に関しては、チューリングマシンのケースで使用される推論は使用できない場合でも、非決定的チューリングマシンに使用される定義と一致する定義を採用することが唯一の賢明な選択であると考えられます。。

これらの非決定的オートマトンファミリの停止問題の定義は以下のとおりであり、質問で提案された定義に準拠しています。

— バブー
ソース