最小カットはネットワークフローより簡単ですか？

max-flow min-cut定理のおかげで、任意のアルゴリズムを使用してネットワークグラフの最大フローを計算し、 -min-cut を計算できることがわかります。したがって、最小の計算の複雑さ最大値の計算の複雑度以下である留分 -flowを。（s 、t ）（s 、t $(s,t)$$(s,t)$$(s,t)$

少なくてもいいですか？最小カットを計算するアルゴリズムは、max-flowアルゴリズムよりも高速ですか？$(s,t)$

私は、削減の削減発見しようとしたに）-max-フローの問題を -minカット問題は、しかし、私は1つを見つけることができませんでした。私が最初に考えたのは、分割統治アルゴリズムを使用することでした。まず、グラフを2つの部分に分割する最小カットを見つけます。ここで、左部分の最大フローと右部分の最大フローを再帰的に見つけ、それらをカットを横断するすべてのエッジと結合します。これは実際に最大フローを生成するために機能しますが、その最悪の場合の実行時間は、min-cutアルゴリズムの実行時間の倍にもなります。より良い削減はありますか？（s 、t ）O （| V |$(s,t$$(s,t)$$O(|V|)$

max-flow min-cut定理は、max-flowの値を計算する複雑さがmin-cutの容量を計算する複雑さと同じであることを示していますが、それは私が求めていることではありません。最大フローを見つけ、最小カットを（明示的に）見つける問題について質問しています。

これは、以下を除き、min-cutからのmax-flowの計算と非常に密接に関連しています。おそらく与えられた我々は見つけることができますいくつかのグラフの最小カットするような、それは簡単の最大フローを計算することができます、他の質問の範囲外だものです。G ' G '$G$$G'$$G'$$G$

可能なアプローチは次のとおりです。

各頂点とでの流入の正確な流出を知っているので、カットSを知っていて、からへのフローを見つけることは、コストがゼロの最小コストネットワークフロー問題です。仮定する示し流れとノードアークマトリックス（すなわち行 COLの、あれば1を有する尾である、-1頭場合、ゼロはそうでない）、およびletそのようなことであるもしt V ∖ S t f S − t A i j i j b A f = b f | V | $S$$t$$V\setminus S$$t$$f$$S-t$$A$$i$$j$$i$$j$$b$$Af = b$$f$需給とフローの保全を満たします。次に、ガウス消去法を使用すると、操作で実行可能なソリューションを見つけることができます。$|V|^3$

フローからカットを見つけるには、最大でをとる残差グラフを作成する必要があります時間、そして潜在的に横断する頂点。 | V $|E|$$|V|$

そのため、完全なグラフと最小カットがソースまたはシンクのみである場合、削減は両方の方向で最悪の場合に等しい時間がかかります。ただし、特別な構造が与えられた場合、実行可能な解を見つけることはよりも速くできると思います。しかし、それを証明する方法がわかりません。| V | $Af =b$$|V|^3$