4つのNANDゲートのみを使用してXORゲートを構築する方法は？

xorゲート、今、私は4つのnandゲートのみを使用してこのゲートを構築する必要があります

a b out
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

xor = (a and not b) or (not a and b)である、

私は答えを知っていますが、式からゲート図を取得する方法は？

編集

私が直感的に意味するのは、ステップバイステップで定義を実行した場合、これを取得する必要があることですxor = (a and not b) or (not a and b)。

及びxor5つので構成するnandゲート（以下第1位の画像）

私の質問はもっと似ています：歴史の最初の人がこの式を理解していることを想像してくださいnand。

その式から？できます。しかし、これから始める方が簡単です：（ここで別の表記を使用）

a ^ b = ~(a & b) & (a | b)

OK、今何？最終的に導出する必要があります~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))（NANDが5つあるように見えますが、回路図のように、2回使用される部分式があります）。

そのため、次のように見えるもの~(a & b) & a（そして同じものですがb、最後に）を作成し、それがそのまま続くことを期待します：（and配布or）

(~(a & b) & a) | (~(a & b) & b)

かなり近いので、DeMorganを適用してその中間orをand：

~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))

以上です。

私はあなたがこの証拠を求めていると思う：

A^B = (!A)B + A(!B)
    = !!((!A)B) + !!(A(!B))
    = !(!!A + !B) + !(!A + !!B)
    = !(A + !B) + !(!A + B)
    = !((A + !B)(!A + B))
    = !(A(!A) + AB + (!A)(!B) + B(!B))
    = !(AB + (!A)(!B))
    = !(AB)(!(!A)(!B))
    = !(AB)(!!A + !!B)
    = !(AB)(A+B)
    = !(AB)A + !(AB)B
    = !!(!(AB)A + !(AB)B)
    = !((!(!(AB)A))(!(!(AB)B)))

NAND結果の方程式では明らかに5 が使用されてい!(AB)ますが、回路を設計するときに重複が1回だけ使用されます。

Googleで質問のタイトルを入力することでウィキペディアから簡単に入手できるダイアグラムの回答がすでにあるので、 あなたと同じ.pngダイアグラムとして、そのダイアグラムから数式を抽出することで簡単に式を見つけることができます。定義NANDを与え $\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}\;$：

• 左端のゲートが得られる、$C=\overline{AB}$

• トップゲートが得られる、$D_1=\overline{AC}$

• トップゲートが得られる NANDが等commutatveであるように、。$D_2=\overline{BC}$

• 右端のゲートが得られる。$E=\overline{D_1D_2}$

すべてをまとめると、まず、

$C=\overline{AB}=\overline A+\overline B$

$\begin{align} \overline{D_1}&=AC\\ &=A(\overline A+\overline B)\\ &=A\overline A+A\overline B\\ &=0+A\overline B\\ &=A\overline B\\ \end{align}$

同様に：$\overline{D_2}=B\overline A$

したがって、
$\begin{align} E&=\overline{D_1D_2}\\ &=\overline{D_1}+\overline{D_2}\\ &=A\overline B + B\overline A \end{align}$

これはまさにXORの定義です。答えを確認するだけでなく、初期データから開始する場合は、これをすべて逆にすることができます。

予備知識なしで答えを見つける

これは、ソリューションをゼロから見つける方法のために、質問の編集として追加された明示的な要求に答えることを目的としています。質問は思考プロセスに関するものであるため、すべての詳細を説明します。

私は問題の制約（4つのNANDゲートのみ）とその間の対称性に依存しようとします $A$$B$、ソリューションで保持される可能ます。

私が知っていることの一つは、（仮定情報は、当該図のように左から右へ流れる）所望の応答生成右端のNANDゲートが存在しなければならないということである $\text{XOR}(A,B)=A\overline B + B\overline A\;$。

したがって、このゲートへのどのような入力が目的の出力を生成するかを推測することができます。

$\text{NAND}(X,Y)=\overline{XY}= \overline X+\overline Y\;$

統一この最後の式を取得する必要のある結果とと、次のようになります。

• $\overline X=A\overline B\;$$X=\overline{A\overline B}=\overline A+B\;$。

• $Y=\overline{\overline A B}=A+\overline B\;$。

これは最も単純な可能性にすぎないことに注意してください。NANDには等式特性があるため、自由代数で統一されていないため、望ましい結果を与える他の入力ペアがあります。しかし、私たちは最初にそれを試みます。

$X$$Y$$A$$B$

統一手順を繰り返すことはできましたが（私はしました）、これにより、さらに4つのゲートを使用することになり、したがって5つのゲートソリューションになります。

$X$$Y$$Z$$A$$B$これらの2つの中間ゲートに入力を提供するとです。

$X$$Y$$Z$$A$$B$$A$$B$を入力として受け取るます。

$A$$B$入力としてを出力として生成します。

$Z=\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}= \overline A+\overline B\;$

ここで、組み合わせかどうかを確認する必要があります$Z$$A$$B$$X$$Y$ます。

NANDゲートを介して値を0または1自体と組み合わせることは、恒等関数または否定のいずれかであることがわかります。残りの候補はのみです$A$$B$です。

それを確認するのは簡単です

$\begin{align} \text{NAND}(Z,A)&=\overline{ZA}\\ &=\overline{\overline{AB}\;A}\\ &=\overline{(\overline A+\overline B)\;A}\\ &=\overline{\overline AA+\overline BA}\\ &=\overline{0+\overline BA}\\ &=\overline{\overline BA}\\ &=\overline{A\overline B}\\ &=X \end{align}$

$\text{NAND}(Z,B)=Y$

したがって、これら4つのゲートを構成して、目的の結果、つまりXOR関数を取得できます。

$(0,0)$

$\text{XOR}$$\text{NAND}(0,0) = 1$

• $\text{NAND}$$\text{NAND}(1,1) = 0$

  • $\text{NAND}(0,1) = 1$$\text{NAND}(1,0) = 1$$\text{NAND}(0,0)$$\text{NAND}$

$\text{NAND}$$(0,0)$$(0,1), (1,0),$$(1,1)$

尋ねられた式を使って答えを出すために最善を尽くしました。
Z = AB '+ A'B
Z = AA' + AB '+ BB' + A'B ---> BB '= AA' = 0
Z = A（A '+ B'）+ B（B '+ A '）
Z = A（AB）' + B（AB） '->ヒント
（今）（AB）'は1番目のNANDゲートを通過でき、2番目と3番目のNANDゲートでは、1番目のNANDゲートの出力がAとBとしての入力。この後、もう1つの補数が必要なので、4番目のNANDゲートを使用します。
NAND（1st）=（AB） '= A' + B '
NAND（2nd）=（A（AB）'） '=（A（A' + B '））' =（AB '）' = A '+ B
NAND（3rd）=（B（AB） '）' =（B（A '+ B'）） '=（A'B）' = A + B '
NAND（4th）= [（A' + B） （A + B '）]' = [A'B '+ AB]' =（A + B）（A '+ B'）= AB '+ A'B

ハッピー！

式：XOR =（bではなくa）または（aおよびbではない）。

それはあなたが望むものではなく、NANDである式が必要です。not（a or b）= not a and not not b、したがって（aまたはb）= not（not a and not b）であることを忘れないでください。だから

（aとbではない）または（aとbではない）=

not（not（a and not b）and not（not a and b））=

not（（not a or b）and（a or not b））=

NAND（aまたはbではなく、aまたはnot b）。

したがって、1つのNANDゲートを使用し、3つのNANDを使用して（aまたはbではない）および（aまたはbではない）を計算する必要があります。各式をNANDに変換します。

not aまたはb = not（a and not b）= NAND（a、not b）

a or not b = not（not a and b）= NAND（not a、b）

ここで、（xおよびy）= xおよび（xまたはyではない）を観察します。xがfalseの場合、両側がfalseです。xがtrueの場合、（xまたはyではなく）=（falseまたはy）= yです。これは、ANDにも当てはまるように、NANDにも当てはまります。だから

NAND（a、not b）= NAND（a、not a or not b）= NAND（a、NAND（a、b））

NAND（b、not a）= NAND（b、not bまたはnot a）= NAND（b、NAND（a、b））。

したがって、最初にmid = NAND（a、b）、left = NAND（a、mid）、right = NAND（b、mid）、最後にXOR = NAND（左、右）を見つけます。

*左から右へ-D1、D2、D3、D4 ** D1 =（AB） 'OR（A' + B '）

仮定する

（AB） '= C

D2 =（AC） '= A' + C '

D3 =（BC） '= B' + C 'then

D4 =（D2.D3） '

D4 =（（AC） '。（BC）'） '

D4 =（AC） '' +（BC） ''

D4 =（AC）+（BC）

D4 = A。（A '+ B'）+ B.（A '+ B'）

D4 = AB '+ BA' {A.A '= B.B' = 0} **