決定不能な問題は物理理論を制限する

決定不可能な問題の存在は、物理システムの予測不可能性を即座に意味しますか？停止の問題を考えてみましょう。最初に、通常の回路ベースの構成を使用して、物理UTMを作成します。その場合、回路の入力設定を考慮して、回路が停止するかどうかを決定できる決定的な物理理論はありません。これは些細なことのように見えますが、量子的または無秩序な考慮事項を参照しないと、予測できないような弱い予測ができませんか？さらに、回路ベースのUTMには特別なものはないことに注意して、上記の議論を強化することができます。そのため、UTMを構築できるレベルでは、物理システムの動作は一般に決定できません。

編集：バブーとベンクロウェルの両方が指摘したように、私の提案する回路構成は単なるLBAです。コメントで述べたように、物理的ではあるが直線的に制限されていないマシンを想像するのは簡単で直感的です。単純に、入力を何度も機械的に左/右に機械的に動かすことができるマシン（ロボット）を構築し、有限であるが有効期限のない電源があると仮定します。ここで、宇宙が有限であるという問題にも遭遇しますが、それによって宇宙が有限であるか、または当初期待されていた結果が真でなければならないという結論を下すことができます（上記の議論から到達するのは驚くべき結論です） 。

これは、質問を少し回避するため、当初はコメントとして意図されていました。しかし、私はそれが独自の方法で答えると思います。

知られている、またはこれまでに試みられたことは、計算理論と物理学を結びつけることはかなり微妙な試みである可能性があることを示しており、質問で提案されたアプローチはおそらく少し粗すぎると思います。すべてが有限であり、必要なのは有限状態オートマトン理論であり、チューリング機械を研究することは時間の浪費であることは、古典的な議論よりもはるかに優れているとは思いません。（私の考え方ではありません）

なぜそのような問題に注意して対処すべきなのか

おそらく、上記の有限オートマトンの引数との比較を動機づけるべきでしょう。私の認識では、計算可能性は、おそらく複雑さよりも、漸近理論であるということです。重要なのは、無限で発生することです。しかし、宇宙が有限であるか無限であるかはわかりません。それが有限である場合、無限計算を検討するポイントは何でしょうか。以下は物理学に関するもので、私は物理学者ではありません。私は正確になるように最善を尽くしますが、警告されました。

ビッグバンは、宇宙全体が非常に小さなサイズで、非常に小さなものであった「時」としてしばしば見られます。しかし、ある時点でサイズがあった場合、それが後で無限のものにどのように変形したのでしょう。不可能だと言っているわけではないのですが…。しかし、それは常に無限であったかもしれません。

次に、宇宙を無限と見なします。それは私たちを助けますか？さて、光の速度に問題があります。ここで（私たちがどこにいるのか）何が関連しているのかを考える場合、有限の球に含まれる宇宙の一部のみが関係している可能性があることを考慮する必要があります。その球の半径 は、距離における2点の相対速度$r$$r$膨張による光の速度に等しいです。私たちが現在知っていることによると、拡張速度に将来の変動がなければ、その範囲外のことは何も私たちにとって問題になることはありません。したがって、宇宙は私たちにとってすべての実用的な目的のために有限です。実際、この関連するユニバースの内容を考慮すると、事態はさらに悪化します。それは縮小しています（作成プロセスがない限り）。その理由は、球体が自身の直径を超えて拡大し、それに伴ってその内容の一部が無関係になったためです。備考：その球は、観測可能な宇宙と呼ばれるものではなく（宇宙の年齢に依存します）、はるかに大きくなります。

したがって、「私たちの」宇宙は有限であるだけでなく、その資源は縮小しているかもしれません。何十億年もの間、私たちの銀河だけがまだ私たちに関連している可能性があります（私たちがまだ存在していると仮定します）。

さて、現時点で何が確立されていると考えられるかはわかりませんが、少なくとも無限大を仮定することが大きな仮定であることを示しています。

ただし、物理的な制限のために計算可能性理論を使用できない場合もあります。上記から結論付けることができるのは、チューリングマシンに関する理論的研究と停止問題から物理的な結論を導くことは不合理かもしれないということです。

ただし、関連する手法は、チューリング完全ではないデバイスまたは形式に適用した場合にも有用な結果をもたらす可能性があります。アルゴリズムの複雑さが私の領域ではないからといって、詳細には触れませんが、宇宙の構造が離散的である場合、複雑さはいくつかの現象の振る舞いに関連する何らかの形である可能性があると思います。当然のことながら、これは私の側の野生の推測にすぎません。以下で参照する研究のいくつかは、そのような離散性の問題に関連しています。

物理学と計算理論に関連する作業の例

計算と物理を結び付けようとするかなりの作業があり、そのほとんどはほとんど知りません。 ですから、私が言っていることに依存せず、単に関連性のある可能性のある研究を検索するための指針としてください。

その作業のかなりの部分は、エネルギーコストのない可逆コンピューティングの可能性などの熱力学的側面に関係しています。エネルギーを消費するのは副作用です（ただし、私を信用しないでください）。これは関数型プログラミングと関係があると思います。ウィキペディアを紹介することもできますが、Googleは多くの参照を生成します。

チャーチチューリングの論文と物理学を結び付けようとする取り組みもあり、とりわけ情報密度が関係しています。例を見てください：

• 物理的な教会チューリング論文と量子論の原理

• 物理的な教会を巡る論文の周り：セルラーオートマトン、形式言語、および量子論の原理、

• 物理学と教会チューリング論文。

私はこれについて他の興味深い見解を見たのを漠然と思い出しますが、それは今私から逃れています。

次に、分散システムでのクロックの同期と相対性に関するLamportの作業があります。

そしてもちろん、計算可能性には影響しませんが、いくつかの（達成可能な）時間の複雑さを明らかに変える量子コンピューティングがあります。

もう1つの見方は、セルオートマトンを使用した物理法則のモデル化に関するWolframの作業ですが、この作業の真の利点には異議があるようです。

このすべての作業を理解しようとすることで、（結果として）計算可能性の制限を（傾向として）計算可能性の制限に結び付ける傾向があったものの、（暗黙に）物理世界の理論的制限にいくつかの計算可能性の知識を結び付ける方法を理解するのに近づくことができると思いますの）物理的宇宙の特性。

これらすべての可能性のある問題の1つは、すべての理論（数学、計算、物理学など）が、表現力に制限を設ける可能性がある構文的に（つまり言語によって）表現可能な概念の範囲内で自己埋め込むことです。私たちの科学の。しかし、前の文に意味があるかどうかはわかりません...申し訳ありませんが、1つのしつこい疑問を表明するためにできる最善の方法です。

個人的な失望の説明として、物理学者（少なくともhttp://physics.stackexchange.com）は、物理的な問題について他の科学が何を言わなければならないかについて議論することにあまり好意的ではないことを付け加えます（ただし、彼らは非常に進んで議論します）物理学は他の科学について何を言わなければならないかもしれません）。

質問は、物理システムの予測不可能性について部分的に尋ねます。決定不可能性は、いくつかの物理的な問題に現れます。これによる初期の調査は、Wolfram、Undecidability and Intractability in Theoretical Physics（or here）によるものであり、この領域は拡大し続けています。ただし、物理的な固有の予測不能性を理解するためのより良い方法は、「初期条件への敏感な依存」として知られているもの、つまりバタフライ効果を利用することです。これは、半玩具モデルとしてローレンツアトラクタを使用して調べることができます。

質問は（あなたは、関連する質問を確認したいことがあり面白いです「停止問題と熱力学的エントロピーとの間の接続はありますか？」）

問題の核心は、最初に数学または物理学に何が来るかです。まあ物理学が答えです。アインシュタインの引用によれば、「私たちが行う数学の種類は、私たちが住んでいる世界に依存します」（私が誤解しない限り、これは「アインシュタイン、哲学者-科学者」にあります）（そして、もう1つ関連し、少し言い換えると「Natureは私たちの数学の難しさを気にしない。それは、経験的に統合」）。したがって、この意味で、特定の物理的特徴は数学的象徴と手順に反映されます。しかし、数学は物理学を定義するという反対の見方もできます（特定の分野で非常に人気のある見方）。

J B. Fraleigh、R A. Beauregardによる本「Linear Algebra」の紹介に一節があります（この件に関する優れた本であり、機会を考えて私が対処したかった点）

数は私たちの心の中にのみ存在します。1番の物理的な実体はありません。ある場合、1はある科学博物館で名誉ある場所にあり、過去には1で驚異的な驚きを注視する数学者の着実な流れを提出します。

しかし、これは真実ではありません。実際に私たちが体験するものは1つ（文字通り）です。太陽（夜の星や、すべての状況下で1つとして認識されない月、太陽、唯一の目に見える唯一の月ではありません）日光の下で空にあるもの）。（そして実際、それは歴史的に人類からの名誉と畏怖の対象でした）。一つは上に行くと、私たちのように経験する他の事について話し合うことができます2または3と4を（2手、5本の "のためのより多くの情報検索のために（指など）が、主なポイントは、与えられた数のシステムの事前の歴史と歴史 "）

数学的な結果が何かを述べるが、物理的な理論が反対を達成するための手順を提供すると分の間言いなさい（事実上反対の建設的な証明）。次に、何かが間違っているでしょう。これらは、まったく同じ形式を使用する場合に特に関連しています。これらが何らかの形で関連していることは直感的です。

たとえば、数学的不可能性の結果は、そのような結果を必要とする物理理論の数学的記述を制限します。私が今使用できる例は、いわゆる「すべての理論」です。発生するすべての物理的な相互作用を数学的な形で説明することになっているため、事実上すべてを説明します。しかしゴーデルの定理により、そのような記述はある意味で不完全になることが知られています。これは私たちが住んでいる世界について何か言いますか？おそらく。

しかし不可能性の結果は純粋に物理的な用語で知られており、それらのほとんどは熱力学に関連しています。たとえば、「熱は高温から低温へと流れます」。これは不可能の結果です。しかし、これは、熱が低温から高温に流れることを意味する（適切な状況で適用された場合）数学的な結果も制限しますが、これは起こりません。したがって、数学は物理的な条件によって制限される可能性があります。本当の質問は、これら2つの間の正確な関係（もしあれば）であり、これは非常に興味深い質問であり、興味深い広範囲にわたる結果が得られます。たとえば、情報理論、ゲーデルの定理、生物物理システムに関連するG.チャイティンの研究を確認できます。はじめに。他のいくつかの接続は、可逆コンピューティング、量子コンピューティングなどのようにすでに言及されています。

最後になりましたが、物理学は実験に依存して物事を定式化および検証するものであり、象徴的な証明ではないことを忘れないでください。（A）物理理論の数学的記述は計算の点で重要であるため、問題のある数学は理論の計算能力を制限するか、そうでなければ問題を引き起こす可能性がありますが、それでも実験は残ります。そして、物理学者は通常、必要に応じて新しい数学の作成者の中にいることを覚えておいてください（例：微積分と微分方程式、確率、テンソル分析、量子力学のくりこみ手順、分析的正則化など）

予測不可能性をTMに接続する例については、接続を行うことができ、マシンが無限の精度で計算する必要がある場合は、無制限のテープが必要になる可能性があります（つまり、物理から除外されている非合理/超越数）システム）。次に、LBAマシンは特定の物理システムを計算するのに十分強力ではなく、停止の問題がある無限テープUTMに入ります。予測不可能性が初期条件（カオス的振る舞いの教示された正式な定義）に起因するのか、それとも計算自体は問題を追加するのではなく別の場所にシフトするだけなので、本質は問題ではありません。

バブー、

それは確かに非常に興味深い質問ですが、前述のように、この主題に関して多くの文献が作成されています。UTMを物理システムにマッピングするのは簡単ではありませんが、アイデアを誘惑するのは簡単です。

個人的には、Landauerによって導入され、以前の回答で言及されたリバーシブルコンピューティングの概念から始めるのが好きです。エントロピーとUTMの間には概念的なつながりがあるようです。

このように考えてみましょう。決定論的な計画（つまり、UTMのように事前に書き留めておくことができるいくつかのステップ：100mまっすぐ歩く、右折ベーカリー、徒歩50mなど）。一度距離を歩くことができます。二回。三回。何回できますか？計画に無限の食料と水を含めない限り、有限回数の旅行の後に停止する必要があります。ただし、UTMテープは無限ですが、TM自体のステップ数は有限数の文字で記述する必要があります。したがって、計画に無限の量の食料と水を含めることはできません。

現在、エネルギーは保守的な量です。したがって、有限量の規定で十分であると考えることができます。しかし、これはここではあなたの問題ではありません。AとBの間を非常にゆっくりと移動する場合でも、あなたの体はあなたの食べ物をもはや消費できないものに変えます。この問題を回避してゆっくりと（AとBの間で準静的に）INFINITELYに移行しようとすると、有限数の文字で「計画」を書くことができなくなります。したがって、決定論的な計画（つまり、UTM）に固執している間にできる移動の数に制限を課しているように思われるのは、熱力学エントロピー（体の処理による食物と水の分解）の増加です。

これが正しい場合、TMの予測不能性は熱力学的エントロピーの増加にマッピングする必要があります。これが非常に直観に反しているように見えることに注意してください（そのようなマッピングが些細なことになる前に言ったように）：無限に、熱力学的エントロピーの増加は平衡、つまり何か安定につながります。しかし、対応するUTMの同じ無限の制限は、ランダムな動作を引き起こします（つまり、どのような出力かはわかりません）。これは、摩擦のあるボールが凸曲線を転がるときにさらに印象的です。熱力学的エントロピーにより、ボールは曲線の低い減退で停止します。これは予測が非常に簡単です。しかし、同等のUTMは、予測できない「ランダムな何か」が最終的に発生することを通知します。カーブの表面に対するボールの動きの熱放散によって作成された原子のランダムな動きにその予測不可能性をマッピングする必要があるのでしょうか。それ'

お役に立てば幸いです！

これの良いモデルは、コンウェイの人生のゲームだと思います。

私たちはルールを発明したので、それらを完全に知っています。これは物理理論に似ています。

それでも、ルールがどれほど単純で、私たちがそれらを知っているという事実にもかかわらず、人生は決定できません。

同様に、物理法則をすべて学んだとしても、それらが決定不可能であることも判明する可能性があります。

それについてあなたができることは本当に何もありません。ただし、コンウェイのライフゲームは、有限のステップ数で予測できることを覚えておいてください。これは、物理学についても同じであることがわかるかもしれません。

決定不可能な問題の存在は、物理システムの予測不可能性を即座に意味しますか？

番号。

まず、物理的なUTMを構築します。たとえば、通常の回路ベースの構築を使用します。

ユニバーサルチューリングマシンはチューリングマシンです。チューリングマシンには、無限（または無限に拡張可能な）テープがあります。したがって、回路から構築することはできません。作成できるのは、線形境界オートマトン（LBA）です。

その場合、回路の入力設定を考慮して、回路が停止するかどうかを決定できる決定的な物理理論はありません。

停止の問題はLBAで決定できるため、議論は失敗します。