停止の問題と熱力学的エントロピーの間には関係がありますか？

Alan Turingは、計算（数、関数など）を行うマシン（Turing Machine、TM）のモデルを提案し、ホールティング定理を証明しました。

TMは、マシン（または必要に応じてエンジン）の抽象的な概念です。停止定理は不可能な結果です。Carnot Engine（CE）は熱機関の抽象的な概念であり、CarnotはCarnot Theoremを証明しました。これは、熱力学的エントロピーに関連するもう1つの不可能な結果です。

TMが物理的に実現可能であるとすれば（少なくともCEと同じくらいですか、そうでないかもしれませんか？）

もちろん、アルゴリズム情報理論（例：Chaitin、Kolmogorovなど）およびエントロピー（そのコンテキスト）の観点から、TMおよびHalting Theoremの定式化があります。質問は、エントロピーのより物理的な概念を求めます（潜在的な答えの過程で、アルゴリズムのエントロピーが生じる場合、それは問題ありませんが、質問が正確に求めるものではありません）。

また、Physics.seで、量子不確実性を熱力学の第2法則に関連付けている別の質問を確認することもできます。参照：エントロピーの代数的特性、エントロピーのアルゴリズムの特性評価、エントロピーの様々な製剤間のレビューとの接続を

私はこの分野の専門家ではありませんが、リバーシブルコンピューティングに興味があると思います。これには、とりわけ、物理的に可逆なプロセスと論理的に可逆なプロセスとの関係の研究が含まれます。この分野の「創始者」はラルフ・ランダウアーとチャールズ・H・ベネットであったと言ってもいいと思います（IBMの研究の両方とも思います）。

量子コンピューティングと量子情報理論に触れますが、「時間、空間、エネルギーの観点から計算の限界は何ですか？」などの質問も調べます。（正確に覚えていれば）可逆計算を実行するために必要なエネルギーを、任意の長い時間をかけることで任意に小さくできることが知られています。つまり、可逆計算を実行するのに必要なエネルギー時間（= action）を定数にすることができます。これは、非可逆計算の場合ではありません。$\times$

この分野で勉強している人々の多くは、量子コンピューティングとデジタル物理学（宇宙は大きな量子セルオートマトンであるという考え）にも取り組んでいます。頭に浮かぶ研究者の名前は、エド・フレドキン、トマソ・トフォリ、ノルム・マルゴラスです。

これらの質問は、絶対にコンピューターサイエンスのトピックです。理論（クールな数学とクールな物理学を含む）だけでなく、計算の究極の限界を知りたいエンジニアのために。少しの情報を保存するために必要な最小のボリュームまたはエネルギーはありますか？アクションは可逆計算が一定であってもよい行うために必要な、それ定数が何であるかには限界があるのですか？これらは、可能なことの限界を押し広げようとするエンジニアにとって重要な知識です。

私はウィキペディアで読んだばかりのことを除いて、カルノーの定理に精通していませんが、その大まかな紹介からでも、証明の構造には関連性があり、それは証明技術であるため、あなたにとって興味深いかもしれませんそれは多くのドメインに適用できます。

どちらも、特定のクラスのプロパティにプロパティがないことを示すための矛盾による証明であり、一部のインスタンスには実際にプロパティがあると仮定し、その後に矛盾が続くことを示します。

停止問題は、矛盾が特定のインスタンス（特定の入力で任意のマシンが停止するかどうかを判断できるマシンM）に関する何らかの自己相互作用から生じるという点で興味深いものです。特に、Mをコンポーネントとして含む新しいマシンを構築し、新しいマシンをMにフィードします。

カルノーの定理についてより多くの知識を持っている人はそれについて詳しく説明することができます（私はそれをする資格がありません）が、手元にプロパティを持つインスタンスがあれば構築できる熱エンジンのタイプから矛盾が生じているようです。

したがって、どちらの場合も次の構成が含まれます。

• 一部のXにプロパティPがあるとします。
  • Xから、関連するYをビルドします。
  • XとYの関係は矛盾しています。
• したがって、プロパティPを持つXはありません。

ただし、ホールティング定理の場合の矛盾は純粋な論理的矛盾であり、古典的論理のあらゆる設定において矛盾するという点で、違いがあるように見えます。カルノーの定理は、私が理解しているように、熱力学の第二法則に関して矛盾しているだけです。論理的な観点からは、それは公理です。したがって、熱力学の第2法則が成り立たない別の公理化を採用した場合、カルノーの定理は定理になりません。矛盾は存在しないからです。（第2の法則がなければ、熱力学の形式化は、幾何学を非ユークリッド幾何学に導いた一種の問題です。）

IANAPhysicistですが、接続は表示されません。チューリングマシンは純粋な数学の対象であり、停止する問題の決定不能性は、何かの物理的な実現とは無関係です。

この多様な複数トピックの質問unfには、単純/簡単な答えがなく、TCS研究の活発な分野に触れています。しかし、物理学とTCSの間のリンクについて尋ねるのは、長年にわたって私に興味を持ったまれな質問です。これを行うにはいくつかの異なる方向があります。基本的な答えは、「未解決の質問」であるが、いくつかのアクティブ/モダンな研究がそれに触れ、接続を示唆しているということです。

• 高度な物理学からのいくつかの驚くべき/深い決定不可能な問題があります。たとえば、動的システムから。しかし、これはそれ自体エントロピーに関係しているのを見たことはありませんが、エントロピーはすべての物理システムに関連付けられているため（例えば、化学理論でこれを見ることができます）、少なくとも間接的なリンクが必要です。

• エントロピーは確かにCSに現れますが、より多くの情報理論とコーディング理論の形で現れます。コーディング理論の誕生には、シャノンによる通信コードに関連するエントロピーの定義/分析が含まれていました。グレイによるこの素晴らしいオンライン参照エントロピーと情報理論を試してください

• エントロピーは、PRNGのランダム性の測定に関連付けられることもあります。Razborov / Rudichによる有名な「Natural Proofs」論文には、複雑度クラスの分離（例：P =？NP）とPRNGの関係があります。このサブジェクトに関する継続的な研究があります。

• 熱力学とそのTCSへの接続について言及します。物理学におけるスピングラスの磁化とSAT遷移点で研究されたNP完全問題との間には深い関係があります。ここでも（再び）物理システムにはエントロピーが関連付けられていますが、おそらくTCSコンテキストよりも物理コンテキストで詳細に研究されています。

非従来型のコンピューティングパラダイムの紹介として時々使用される単純な思考問題があります。

2つの電球とそれぞれのオン/オフスイッチがあります。誰かが次々に両方のライトを開閉します。最初に閉じたものと最後に閉じたものをどのように判断しますか？この問題を決定するためにライトを開く必要がある最小回数を決定します。

ほとんどのコンピューター科学者は通常、ブール論理ベースのソリューションを見つけようとします。答えは（少なくとも1つ）です：電球に触れて、どれが熱くなっているかを確認します。

熱に基づくパラダイムは、コンピューターサイエンスに存在します。シミュレーテッドアニーリングは、既知のアルゴリズムです（D波量子コンピューターは、アルゴリズムの量子対応物です）。

停止問題と関係がありますか？

オメガ数の概念を介したHalit問題に関するChaitin and Caludeの古典的な研究は、Halting問題の確率的定式化にリンクできます。それは私が考えることができる問題に関するより最近の論文であり、エントロピー（熱力学）との明確な関係はありません。情報エントロピー（シャノンの意味で）があなたにとって良いなら、オメガ数はシャノンの境界の意味で、ホールティング問題を最も簡潔な方法でエンコードします。

要するに、オメガ数は、ランダムなプログラムが停止する確率です。定数を知っていると、すべての有効な数学的ステートメント（真理、公理など）の列挙が可能になり、計算できません。Caludeは、ランダムなプログラムの長さに反比例する尺度で均一な確率尺度を変更し、プレフィックスなしのエンコードを使用して、オメガのバージョンを計算しました。

はい！、奇妙なことに、私はこれについて考えました。ここにアイデアがあります：

最初の一歩

Maxwell's Demonをコンピュータープログラムとしてモデル化します。それでは、デーモンはどのようにして粒子の速度と位置を知るようになってから、選択のためにドアを開けましたか？

悪魔が粒子がドアに当たる速度を測定できないと仮定します、なぜですか？粒子の速度が変化するため、デーモンは、見ることなく、測定することなく、開く前に把握する必要があります。公平を期すために、悪魔にゲームのルールを事前に知らせます。つまり、動きの法則、粒子の相互作用、初期条件、十分な物理/動的モデルを悪魔に与えます。

第二段階

パーティクルのガスは、すべてのパーティクルに対してデーモンに与えられた同じコードを実行するコンピュータープログラムとしてもモデル化されるため、ガスはその初期条件から結果を計算しているため、デーモンは停止するまでその結果を知りません）：すなわち、「適切な速度のパーティクルがドアにある」場合、システムに尋ねる「はい/いいえ」の決定は「パーティクルに適切な位置と十分な速度を持たせますか？」です。そして、高速粒子は部屋の高温側に入り、新しい初期条件を設定できます（これらの連続した問題には答えがありますか？それとも永久に実行されますか？）

境界を越えるのに十分な速度のパーティクルが存在しない時間があるため、ほとんどすべてのしきい値に対してコードが永久に実行される（停止しない）時間があります。

デーモンはガスによって計算された結果を知りたいのですが、結果は粒子の法則のソースコードと初期条件に潜在的に関与しているという意味です。もちろん、それを知るためにそのプログラムを実行する必要があります。デーモンが出力で適切な速度を待って同じプログラムを実行すると、プログラムが停止するか、永久に実行される可能性があります（ただし、悪魔にはガスほどの計算能力がないため、決定することはできません時間通りにドアが開きます）。

デーモンは、実行せずにソースと入力を監視することにより、プログラムの出力（または停止するかどうか）を把握することができますが、それは停止の問題を解決しようとしているようなものです。デーモンはどの法律と初期条件がフィードされるのかわからないので、デーモンはあらゆる法律と初期条件のセットを解決する準備をする必要があり、一般的に不可能であることがわかっているため、可能であればオラクルが必要何からエネルギーを生成する悪魔を構築するのに十分であること。（法律と初期条件を知っていても、どちらも十分に知るのは難しい）

この思考実験は、一般的に結果を予測する問題として、コンピューターによるエントロピーの減少が何らかの方法でHalting Problemによって制限される可能性があることをリンクできます。

（すべての制限が同じ制限であるようです。.）

粒子法則の詳細

粒子の法則はこの思考実験の主要な問題ではなく、それらの法則は量子的または古典的である可能性がありますが、法則と初期条件の複雑さの事実を考慮する必要があり、粒子の配列の複雑さは制限されず、多くの複雑さが追加されます（初期状態の極端な例では、内部ソースコードに従ってパーティクルを発射するコンピューター全体を挿入し、そのコードをデーモンに渡すことさえできます）。

とても魅力的な質問です。あなたの考えが正しいことがわかります。

最初に、熱力学の2番目の原理が何を言っているかを見てみましょう。

エントロピー関数は、熱力学の第2法則で使用されます。これは、蒸気機械で行われるプロセスの効率が、対応する「可逆」機械と同等かそれ以下であるとするカルノーの定理に由来します（150年の熱力学では不安定な概念のようです）。カルノーは自分でエントロピー関数を作り出しませんでしたが、クラウジウスとともにこれは彼らが言うことです：

永久機械がないため、エントロピーと呼ばれる関数Sを構築できます。この関数Sは、巨視的な熱力学的測定値を特定の方程式、つまり S（V、T、Pなど）= 0に制約します。

この方程式は、熱力学的測定の空間における超曲面の方程式にすぎないことに注意してください。

カラテオドリに入ります。

カラテオドリはドイツの数学者であり、すべての数学者のように、彼は彼が第二法則は何明確にすることが可能になるいくつかの公理推論カルノーとクラウジウスのうち抽出したい本当にについてですが。率直に言って、彼はエントロピーが何であるかを正確に知るために熱力学を精製したいと考えています。

特定の数の公理をリストした後、彼は（多かれ少なかれ）言うHISの第二法則を定式化することができます。

断熱プロセスがいくつかあります。またはもっと平凡に、もしあなたが帰りたいなら、時々一人で仕事をするだけでは十分ではありません。少し熱が必要です。

今では、クラウジウスの定式化とは非常に異なるようです！しかし、実際にはそうではありません。カラテオドリは単語の順序を変更するだけでした。数学者がユークリッドの第5公理で2,000年間演奏し、その公理に多くの異なる文言を生み出したように。そして、一歩下がったとしても、カラテオドリの第二法の声明にあまり驚かないでください。実際、カラテオドリの導関数はまったく同じエントロピー関数と超曲面方程式S（V、T、Pなど）= 0につながります。

カルノーの定理をよく考えてください。数学者として、Carnotが永久機械が存在しないことを認める方法にあまり満足するべきではありません。実際、数学者としては、次のようなものが見たいでしょう。

エントロピー関数Sがあり、永続的なマシンがない場合にのみ巨視的な測定を制限します。」

今、定理があります。そして、それは何と言っていますか？無限の量のエネルギーを生成する分離された機械システムが存在しないため、任意の状態に導くことができる限り、エントロピー関数が見つかります。アンは、機械的な分離しましたシステムは、断熱過程です。したがって、カラテオドリの定式化：断熱システムはどこにも導くことができません。時には熱が必要になります。

そのため、カラテオドリが正しいことだけでなく、彼の定式化も非常に単純であると確信しています。

さて、カラテオドリの第二法則は停止問題に似ているという印象をどこで得ますか？

Carathéodoryの声明に一歩戻ってください。それが言うことはすべて、あなたが混ざり合うことをやめた孤立した機械システムを手に入れたら、あなたが望む状態に到達できないということです。

それは停止の問題のように正確に聞こえませんか？すなわち、理論のすべての公理を書き、すべての可能な遷移を定めた後、あなたが解決できない問題があるでしょう。時には、さらに公理を追加する必要があります。

実際、本当に深く掘り下げてカラテオドリの定式化をエンコードする場合、これはチューリングマシンではなく断熱プロセスの停止問題と同じコードになり、問題の代わりに状態になります。

どう思いますか？

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