単語長が2つのrespの合計である単項言語の規則性。3つの四角

単項言語について考えます$L_k$。ここで、$L_k$は、長さが$k$平方の合計であるすべての単語で構成されます。形式的に： これは、ことを示すことは容易である L 1 = { N 2 | N ∈ N 0 }（ -補題をポンピングとEG）定期的ではありません。 さらに、我々は、それぞれ自然数のためのことを意味4乗の和であることを知っている K ≥ 4のすべての言語 LのKをので、正規である LのK = L （*）。

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$
$k\ge 4$$L_k$$L_k=L(a^*)$

ここで、およびk = 3の場合に興味があります。$k=2$$k=3$

、 L 3 = { N 1 2 + N 2 2 + N 3 2 | N 1、N 2、N 3 ∈ N 0 }。$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$$L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

残念ながら、私はこの言語が正規であるかどうかを示すことができません（ルジャンドルの3平方定理または2平方和のフェルマーの定理を使っても）。

少なくともは規則的ではないが、不幸に考えることは証明ではないと私は確信しています。何か助けは？$L_2$

から始めましょう。知られている場合は2つの正方形の和は整数の上限濃度が0であることL $L_2$$L_2$、その上部の密度は、有限の0であるため、定期的であったが、それは、最終的に周期などであろう。しかし、には任意の大きな整数が存在するため、L 2を正規にすることはできません。$L_2$$L_2$

について、単語w k = 1 4 k 7を考えます。私のためと主張K < ℓ、単語W K、W ℓは非等価です。実際、W K 1 4 K 8 ∉ L 3、一方W ℓ 1 4 K 7 ∈ $L_3$$w_k = 1^{4^k 7}$$k < \ell$$w_k,w_\ell$$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$。Myhill–Nerode基準は、 L 3が不規則であることを示します。$w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$$L_3$

が規則的であると仮定します。そして、そうすることによって、その補数、あるルジャンドルの3平方の定理である{ nが| N = 4 、K（8 L + 7 ）、K 、L ∈ N }。パリフの定理により、これは長さのセットS = { 4 k（8 l + 7 ）| K 、L ∈ N$L_3$$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$半直鎖、すなわちA有限和集合である }。線形セットの N i = 1 SiSi={ai+rbi| R∈$\bigcup_{i=1}^NS_i$$S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

二つの要素検討とK 1 > K 2、およびlet R ：= K 1 - K 2。もしS 1、sは2が同じで両方ともS iは、そのようにのいずれかであります$s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$$k_1>k_2$$r:=k_1-k_2$$s_1,s_2$$S_i$）。だがまたは 2 s 2 − s 1（ s 1 < s 2または s 1 > s 2によって異なります$2s_1-s_2$$2s_2-s_1$$s_1<s_2$$s_1>s_2$

• 、ここで l ′ = 4 r − 1（8 l 1 + 7 ）− l 2、$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$$l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
• 、ここで l ′ = 2 l 2 − 4 r l 1。$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$$l'=2l_2-4^rl_1$

$S$$s_1,s_2$$S$$k$

$L_3$