シェーファーの定理がP = NPであることを証明しないのはなぜですか？

これはおそらく愚かな質問ですが、私にはわかりません。別の質問で、彼らはシェーファーの二分法定理を思いついた。私には、すべてのCSP問題がPまたはNP完全のいずれかであるが、その間にないことを証明しているように見えます。すべてのNP問題は多項式時間でCSPに変換できるので（CSPはNP完全であるため）、なぜこれはPとNP完全の間にスペースがないことを証明しないのですか？

たとえば、私の考えでは、整数因数分解は充足可能性の問題として書き直すことができるため、シェーファーの定理を使用して、PまたはNP完全でなければならないが、間にはないはずです（どちらかがわからなくても）。

質問全体を見る別の方法：シェーファーの定理を使用して整数因数分解がPであるかNP完全であるかを判断できないのはなぜですか？

編集：David Richerbyの回答に応えて（コメントするには長すぎます）：

興味深いが、まだ完全には理解していない。シェーファーの定理を使用しながら関係ガンマのセットを定義する場合、制限を課すことができます。たとえば、アリティ2の関係のみを使用するようにガンマを制限する場合があります（問題はPにあります）。ガンマにどのような制限を課すことができますか？

なぜCSP（gamma）のすべてのインスタンスが（Lと同型？）Lとまったく同じになるような制限を課せないのですか？たとえば、不均一な数値の整数分解を変換する場合、2つの除数の1つはxn .. x3 x2 1として表されるバイナリです。この数値を1より大きくしたいので、関係（xnまたは..またはx3またはx2）。したがって、ガンマにはn-1のor-relation関係があると言います。しかし、or関係を使用して、L以外のインスタンスを言語に含めることは望ましくないため、or関係のx2..xnには否定を許可しません。もちろん、特定の変数のみがそこで使用されるという制限を課す必要もあります。

このようにしてCSP（gamma）を整数因数分解と同型にすることはできませんか？主な質問は、ガンマにどのような制限を課すことができるかということです。

編集2：ユバル・フィルマスの回答に応えて。

デビッドの答えとほぼ同じですが、あなたの答えを理解し、正しいようです。たとえば、分解を3-satに減らしてから、分解がNP完全であると結論付けることができますが、3-satにはおそらく分解でない他のインスタンスがあるためです。

私が理解できない部分は、インスタンスが（非）任意である場合です。たとえば、2 SATは、arity 2の句のみが許可されているため、私にとっては任意ではないように見えます（ただし、証明は上限であり、この場合は上限がPであるため、証明がまだ保持されていることを認める必要があります）。

おそらくもっと良い例は、NP完全性の例です：上記のリンクされた質問。1人の回答者がシェーファーの完全な証明を与えます。ただし、入力には重要な制限を課しています（2-SAT句とxor-clausesは許可されますが、それ以外は何も行われません）。もちろん、証明で考慮されるCSPの問題は元の問題とまったく同じであるため、証明はまだ保持されています。

私が理解できない部分は、なぜ因数分解のために同様のことができないのですか？もちろん、それを3-SATに減らすことは意味がありませんが、数値を因数分解して（4ビットの）数値のみを因数分解するCSPインスタンスを与えることができます。（これが可能だと思われる場合は、END-OF-SKIPに進んでください）。

分解インスタンス。

入力：

（N =）（因数分解する数値の4ビット） （M =）（最初の除数の最小値の4ビット） m 4 m 3 m 2 m $n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

それでは、これをCSPインスタンスに変換しましょう

INPUT：
のための単項ドメイン及びため（N及びMが与えられたことを示します）mは5。。m $n_5..n_1$$m_5..m_1$

ドメイン{0,1}の変数：
（D =）（最初の約数） （E =）（2番目の約数）e 4 e 3 e 2 e $d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

関係：

$e_4 \lor e_3 \lor e_2$（E> 1を表す）

$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$
（D> Mを表す）

（D 1 ∧ E 2）⊕ （D 2 ∧ E 1）= N 2 、N 3 = 。。。; n 4 = 。。$d_1 \land e_1 = n_1$（最下位ビットの乗算を表す）（次のビット乗算を表す）
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

スキップオブスキップ

重要なのは、シェーファーの定理を適用するとき、そのようなCSPのみを考慮する必要があるということです。（2-SATと同様に、アリティ2のCSPのみを考慮します）。それを行うとき、6つの多型のうちの1つが保持されるか、または保持されません（集合論のいくつかの癖を保存します）。どちらの場合でも、因数分解はNP中間ではありません。

これは、3-SATでも実行できます。次に、（リダクションを使用して）分解インスタンスを表す3-SATインスタンスのみを検討する必要があります（3-SATではなくなりました）。

どこが間違っていますか？

$L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$$L$$\Gamma$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$