XOR関係を持つ2-SATはNP完全ですか？

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「2-SAT with XOR-relations」の多項式アルゴリズムがあるかどうか疑問に思っています。2-SATとXOR-SATは両方ともPにありますが、その組み合わせですか？

入力例：

2-SATパート： (a or !b) and (b or c) and (b or d)
XOR部分： (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

つまり、入力は次のブール式です。

(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d) .

$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$

出力例：満足：a = 1、b = 1、c = 0、d = 0。

入力の2-SAT句の数とXOR句の数はどちらもです。ここで、はブール変数の数です。 $O(n)$ $n$

— アルバートヘンドリックス
ソース

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この問題はかなり近く、ビットのビット単位のxorでターゲットベクトルと等しくなります cstheory.se

— vzn

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2-SAT-with-XOR関係は、3-SATからの削減によってNP完全であることが証明できます。3-SAT句は、等価な2-SAT-with-XOR関係式をとを新しい変数として使用します。

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

(x_{1} \lor \bar{y}) \land (y \oplus x_{2} \oplus z) \land (\bar{z} \lor x_{3})

$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$

y

$y$

z

$z$

— カイル・ジョーンズ
ソース

すべての答えは正しいか支援のようですが、私はこれが最もエレガント（imho）であると思いました。

— Albert Hendriks

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いい答え。価値が（満足できるCNFのすべての条項に対応する式の条件を満たす割り当てが一致しない場合がありますので）単なるequisatisfiabilityはここで十分ではないことを言及することができるが、あなたの書き換え式は、実際に対応する満たす割り当てている各の満足割り当てを元の条項。

— クラウスドレーゲル、

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あなたのXOR関係のアリティを指定していないが、通常の土・ツー・3SATの減少で、あなたは常に彼らのアリティはほとんど3であることを手配することができますように今、あなたは適用するのに最適な位置にあるシェーファーの二分法の定理を、その意志問題がPであるかNP完全であるかを伝えます（これらは2つのオプションのみです）。それがPであることが判明した場合、次のステップはAllenderらを調べることです。、問題がいかに簡単かを知らせます。

— ユヴァルフィルムス
ソース

これは制約があるという条件を考慮していませんが、常にダミー変数を追加して、条件が満たされていることを確認できます。

O (n)

$O(n)$

— Yuval Filmus

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シェーファーの二分法の定理により、これはNP完全です。

すべての句に2つまたは3つのリテラルが含まれている場合を考えます。次に、これをアリティ3の関係のセットに対する制約充足問題と見なすことができます。特に、関係は次のとおりです：、、、、。 $\Gamma$ $R(x,y,z)$ $x \lor y$ $x \lor \neg y$ $\neg x \lor \neg y$ $x \oplus y \oplus z$ $x \oplus y \oplus \neg z$

次に、シェーファーの二分法の定理を、その現代的な形で適用します。6つの演算のそれぞれをチェックして、それらが多態性であるかどうかを確認します。

単項0：多型ではありません。 $x \lor y$
単項1：多型ではありません。 $\neg x \lor \neg y$
バイナリAND：多型ではありません。（と検討してください。どちらも関係を満たしていますが、それらの点ごとのANDは満たしていません。） $x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
バイナリOR：多型ではありません。（と考慮してください。これらは関係を満たしていますが、は関係を満たしていません。） $\neg x \lor \neg y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$
三項過半数：多型ではありません。（とと検討してください。これらは関係を満たしていますが、過半数は満たしていません。） $x \oplus y \oplus z$ $(0,0,1)$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
三元系マイノリティ：多型ではありません。（、、および検討してください。これらは関係を満たしていますが、少数派は満たしていません。） $x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$ $(0,0,0)$

したがって、すべてのXOR句の長さを最大3に制限しても、この問題はNP完全です。

一方、すべてのXOR句の長さが最大2に制限されている場合、これはPになります。特に、はなので、そのような式は2SAT式と同等であり、その充足可能性は多項式時間で決定できます。 $(x \oplus y)$ $(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$

— DW
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