補題とAC0の削減をSAT問題間で切り替える

たとえば、（スイッチング補題を使用して）SATまたは3SATにACを設定できないことを示すための努力がありましたか？$^0$2SATへの削減？関係する問題または困難は何ですか？

SATおよび3SATはNPに対して完了しており、2SATはACの下のNLに対して完了しています。$^0$削減。したがって、そのような証明はNPをNLから分離します。

ACで3SATから2SATへの削減の場合$^0$、下部のファンインは3に制限されています（少なくとも最初の切り替えの前）。

削減の目標が、たとえば3SATではなく2SATであるという事実をどのように使用するかはわかりません。

スイッチングレンマを適用する一般的な方法は、おおよそこれです。ランダムな制限を適用して、$\lambda$ 入力の割合、いくつかの小さなパラメーターの場合 $\lambda$これは、問題のAC ⁰回路のパラメーター（サイズと深さ）に依存します。次に、一定の確率で、AC ⁰回路によって計算される関数が一定になります。

私たちのケースでこれを適用すると、私たちはすべてを修正しました $\lambda n$ 入力の代わりに、いくつかの $\mu$出力の一部は固定されています。そして今何？削減については何も知りませんので、矛盾をどうやって取得するかは明確ではありません。さらに、ターゲットの問題が3SATではなく2SATであるという事実をどのように使用するかはわかりません。この場合、矛盾はありません。

スイッチング補題は、具体的な関数を考えていて、この特定の関数のAC ^0の下限を証明したい場合に最適です。スイッチング補題の他、以下の典型的な使用は、いくつかの一般的性質を証明することである任意の ACによって計算機能⁰回路。最も有名な例は、フーリエスペクトルの減衰率に限界を与えるリニアルマンスールニサンです。このような情報をどのように使用するかは明確ではありません。

あなたの質問の他のいくつかの角度/ハメ撮りは、それを狭く/文字通りに捉えていません。スイッチングレンマのような構造は、「偶然に」複雑さの理論で有名な/非常に高度な証明の中心にあることがわかりました。最初にRazborovが発見した、単調回路のSATのような問題に必要な指数の下限が示されました。この数年前のネヴァンリンナ賞。しかし、彼の最初の証明はその形であるとは理解されておらず、そのつながりを引き出すために複数の論文を分析するのに何年もかかりました。この取り組みは、このホワイトペーパーにまとめられています：Lemmaを切り替えることによる単調な複雑さ / Harnik、Raz。彼らの論文で引用されているように、それはバーグとウルフバーグによる公式化に関連している[BeUl97]。

したがって、スイッチングレンマとその再構成は、引き続きアクティブな研究分野であり、複雑性クラスを分離するための基本的な「デバイス」であり、したがって、将来的にその使用を完全に除外することはお勧めできません（重要？/重要？）分離結果。また、あなたの質問はP対Lにも触れており、P対NPと同じくらい難しいと多くの人が考えています（どちらの質問もほぼ同じ時間、およそ〜40年間開いています）。ただし、Razborov / Rudichによって特定された自然の証明バリアには、この手法のいくつかの制限が見られます。

3SATと2SATについては、質問で尋ねますが、もちろん2SATはPであり、3SATはNP完全であるため、大幅な「削減」もPとNPに関連していると考えられます。あなたのNP対NLのアイデアに関して、P対NLの質問に触れている他の活発な研究分野があります。たとえば、Weharによるこの最近の分析、交差点非空虚の硬さの結果

AC ^0の削減とその（オープン）複雑性クラス分離への影響については、この最近の画期的な結果、ブール回路の平均ケース深さ階層定理 / Rossman、Servedio、Tan（eg p5）にいくつかの関連が指摘されています。

マイヤーの質問：多項式階層が無限である相対化された世界はありますか？

...マイヤーの質問に肯定で答えるには、すべての定数d∈について、それを示すだけで十分です $\mathbb{N}$、ブール関数Fの_Dの深さD ACによって計算⁰ F演算回路-任意の深さ優先（1 d）のように回路_Dは超準多項式サイズを必要とします。