もし

が規則的である場合、が規則的であることを証明することに興味がありますが、どこにも到達していないようです。可能であれば、正しい方向に進むためのヒントを望んでいました。ご協力ありがとうございました。$\sqrt{L}=\{w:ww\in L\}$$L$

平方根言語の規則性を実証するための私のアイデアは、タンデムで実行されている2つのマシンを検討することでした。それらの1つは元の言語を受け入れ、もう1つは同じマシンを逆方向に実行します（これはNFAになると思います）。次に、途中で出会った単語を受け入れたかった（つまり、 ここで、 はを受け入れるDFAの状態）。しかし、私はこれがうまくいくとは思いません。$L$${(q,q):q∈Q}$$Q$$L$

ソリューションを実装する方法は次のとおりです。ましょうためDFAも。NFAを次のように作成します。$A = \langle Q, q_0, F, \delta \rangle$$L$$A' = \langle Q', q'_0, F', \delta' \rangle$

• $Q' = \{q'_0\} \cup Q^3$。状態は、がの最初のコピーの読み取りをすると、状態なることを推測したことを意味します。で開始されたの最初のコピーは、状態ます。また、で開始されたの2番目のコピーは、状態ます。$(q_1,q_2,q_3)$$A$$w$$q_1$$A$$q_0$$q_2$$A$$q_1$$q_3$
• $F' = \{(q_1,q_1,q_2) : q_1 \in Q, q_2 \in F\}$。したがって、の最初のコピーが推測された状態にあり、の2番目のコピーが受け入れ状態にある場合は受け入れます。$A$$A$
• $\delta'(q'_0,\epsilon) = \{(q,q_0,q) : q \in Q\}$。これにより、の2つのコピーのシミュレーションが初期化されます。$A$
• $\delta'((q_1,q_2,q_3),a) = \{(q_1,\delta(q_2,a),\delta(q_3,a))\}$。これは、推測された状態を維持しながら、両方のコピーをシミュレートします。$A$

という正式な証明を読者に残します。$L(A') = \sqrt{L(A)}$

DFAを作成する別のソリューションを次に示します。実行します コピーの各状態から始まる平行で、：$|Q|$$A$$A$

• $Q' = Q^Q$。
• $q'_0 = q \mapsto q$、恒等関数。
• $\delta'(f,a) = q \mapsto \delta(q,a)$。
• $F' = \{ f \in Q' : f(f(q_0)) \in F \}$。

条件の意味は何ですか？単語読み取った後、オートマトンはによって与えられる状態ます。したがって、です。$f(f(q_0)) \in F$$w$$A'$$f$$f(q) = \delta(q,w)$$f(f(q_0)) = \delta(\delta(q_0,w),w) = \delta(q_0,w^2)$