この組み合わせ最適化の問題は、既知の問題と似ていますか？

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問題は次のとおりです。

2次元の配列/数値のグリッドがあり、それぞれが「利益」または「利益」を表します。また、2つの固定整数と（「幅」と「高さ」）と、固定整数ます。 $w$ $h$ $n$

ここで、これらの長方形のセルの値の合計が最大になるように、グリッドに次元長方形をオーバーレイします。 $n$ $w \times h$

次の図は、そのような2つの長方形が上に重ねられた2次元グリッドの例です（この図は、最適なソリューションを示していませんおよび 1つの可能な重ね合わせのみです）。 $w = h = 2$ $n = 2$

グリッドの例

長方形は交差できません（そうでなければ、1つの長方形の最適な位置を見つけて、すべての長方形をその位置に配置するだけで済みます）。

上記の例では、セルの値の合計は $-2 + 4.2 + 2.4 + 3.14 + 2.3 -1.4 + 1 - 3.1$

これは、組み合わせ最適化の既知の問題に似ていますか？読書を始めて、それを解決する方法を見つけることができるように。

興味のある人のためのいくつかの背景：

これまでのところ、私が持っていた唯一のアイデアは、貪欲なアルゴリズム（最初の四角形の最適な場所を見つけ、次に2番目の四角形の重複しない場所を見つけるなど）または遺伝的アルゴリズムなどのメタヒューリスティックです。

実際には、約100万のセルと数万（または数十万）の長方形を持つグリッドでこの問題を解決したいと考えていますが、短時間で解決する必要はありません（つまり、アルゴリズムは数時間または数日かかる場合があります。）正確な解決策を期待していませんが、これらの制約を考慮して、可能な限り優れた解決策を求めています。

乾杯！

— 58
ソース

（電話で）これは、変換といくつかの追加の制約の下で最大のマッチングで解決できるようです。後で書きます。

— Nicholas Mancuso 2015年

n

$n$

n - 1

$n-1$

s

$s$

L

$L$

s

$s$

L

$L$

\geq s

$\ge s$

2

私の最後の定式化には、指数関数的な量の「制約」ノードを必要とする致命的な欠陥がありました。

$r$ $w_r$ $r, r'$ $k=n$

— ニコラス・マンキューソ
ソース

これは私が現在傾いている方向です。私はこれを実験して、それが私が最終的に使用しているものである場合の応援を受け入れます。

— fiftyeight

2

これを巨大な整数線形計画法（ILP）インスタンスとして定式化し、既成のILPソルバー（lp_solve、CPLEXなど）を適用できます。彼らはあなたが見つけることができる最高のソリューションを提供します。問題のインスタンスのサイズを考えると、これが十分に効率的かどうかはわかりませんが、簡単に試すことができます。

$x_r$ $r$ $x_r=1$ $r$ $x_r=0$ $\sum_r c_r x_r$ $c_r$ $r$ $\sum_r x_r = n$ $x_r + x_s \le 1$ $r,s$

— DW
ソース

この問題はNP難しいと思いますか？ポリタイムソリューションがないことには確信が持てません。また、ILPソルバーは、適度なサイズのインスタンスでさえ完了しない可能性があります。

— RB

1

@RB、それがNP難しいかどうかはわかりません。多項式時間アルゴリズムを見つける方法についての最初の考えについては、動的プログラミングに関する質問の下の私のコメントを参照してください（ただし、結果のアルゴリズムがPになるかどうかはわかりません）。ILPソルバーが実行できることに関する限り、調べる唯一の方法は試すことです。ときどき、そのパフォーマンスは驚くべきものになることがあります。

— DW