Yコンビネータは、カレー-ハワード通信と矛盾しますか？

Yコンビネータのタイプはです。Curry-Howard Correspondenceでは、型（a → a ）→ aが存在するため、真の定理に対応しなければなりません。ただし、a → aは常にtrueであるため、Yコンビネータの型は定理aに対応するように見えますが、これは常にtrueとは限りません。どうすればいいの？$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$a \rightarrow a$$a$

元のカリー-ハワード対応は、直観主義的命題論理と単純型付きラムダ計算の間の同型です。

もちろん、他のカレーハワードのような同型があります。フィル・ワドラーは、「カリー・ハワード」という二重バレルの名前が、「ヒンドリー・ミルナー」や「ジラール・レイノルズ」のような他の二重バレルの名前を予測することを有名に指摘しました。「Martin-Löf」がそれらの1つだったら面白いでしょうが、そうではありません。しかし、私は脱線します。

Yコンビネーターは、これと矛盾しません、1つの重要な理由：単純に型付けされたラムダ計算では表現できません。

実際、それが全体のポイントでした。Haskell Curryは、型なしラムダ計算で不動点結合子を発見し、それを使用して、型なしラムダ計算が音声演systemシステムではないことを証明しました。

興味深いことに、Yのタイプは、カリーのパラドックスと呼ばれる論理的なパラドックスに対応しています。次の文を検討してください。

この文が真の場合、サンタクロースが存在します。

文が真であったと仮定します。そして、明らかに、サンタクロースが存在するでしょう。しかし、これはまさに文が言うことなので、文は真実です。したがって、サンタクロースが存在します。QED

Curry-Howardは、型システムを論理的演ductionシステムに関連付けます。とりわけ、それはマッピングします：

• 証明するプログラム
• プルーフ上の変換へのプログラム評価
• 真の命題に対する居住型
• 型システムから論理演ductionシステム

$a \to b$$a$$b$$Y (\lambda x. x) \to Y (\lambda x.M)$

カレー-ハワード通信は、まさにそれです：通信。それ自体では、特定の定理が真実であるとは言いません。それは、タイパビリティ/証明可能性が一方から他方に伝わると言います。

Curry-Howardの対応は、単純型付きラムダ計算、システムF、構成の計算など、多くの型システムの証明ツールとして役立ちます。これらの型システムはすべて、対応するロジックが一貫しているという性質を持っています（通常の数学が一貫している）。また、任意の再帰を許可しないという特性もあります。Curry-Howardの対応は、これら2つのプロパティが関連していることを示しています。

Curry-Howardは、非終了型付き計算および一貫性のない演systemsシステムに引き続き適用されます。そこでは特に有用ではありません。