この問題は、線形計画法を使用して多項式時間で解くことができ、これは実際には任意の半順序に当てはまります。ところで、私たちは、任意の有限半順序集合のためにすることを誘導によって証明することができます 、有限集合が存在すると全単射、そのようにすべての（S、≤ ）（S、≤ ）S′⊆ Nf：S→ S′s1、s2∈ S、s1≤ sの2⇔ F（s1）| f（s2）。
してみましょう中鎖によって形成される集合であるS。ことを思い出さCがある鎖のすべてのためのIFF V 、V 'にC、V ≤ V 'またはV ' ≤ VCSCv 、v′Cv≤v′v′≤ V
今ブール変数作成それぞれに対して、V ∈ S、およびブール変数YのC各チェーン用C。我々は、次の線形計画書き込むことができます（Pを）我々の問題のために：
最大ΣのV ∈ S X のVの対象とΣのV ∈ Cは xはV ≤ 1 、∀ C ∈ CをバツvV ∈ SyCC（P）
マックス∑V ∈ Sバツv対象ΣV ∈ Cバツv≤ 1 、∀ C∈ Cバツv∈ { 0 、1 } 、V ∈ S
およびそのデュアル ：（D ）
ミンΣC∈ CyC対象ΣC：V ∈ CyC≥ 1 、∀ V ∈ SyC∈ { 0 、1 } 、C∈ C
次に、チェーンによって順序付けられたセットの最小カバーを見つける問題は、問題の二重です。ディルワースの定理は、
アンチチェーンAと、チェーンのファミリーPへの順序のパーティションが存在し、パーティション内のチェーンの数はAのカーディナリティーに等しくなります。
これは、これら二つの問題の最適解が一致することを意味する：O p t （P）= O p t （D ）
ましょう（RESP。 （D *））の緩和すること（P ）（RESP。 （D ））、すなわち同じ線形プログラムここですべての制約のx V ∈ { 0 、1 }（RESP。Y C ∈ { 0 、1 }）で置き換えられているXのV ∈ [ 0 、1 ]（RESP。Y（P∗） （D∗）（P） （D ）バツv∈ { 0 、1 } yC∈ { 0 、1 }バツv∈ [ 0 、1 ] ）。してみましょう O P T （P *）と O P T （D *）自分に最適なソリューションであること。以来、 { 0 、1 } ⊆ [ 0 、1 ]：我々は
O 、P T （P ）≤ O P T （P *） と、 O 、P 、T （D *yC∈ [ 0 、1 ]O p t （P∗）O p t （D∗）{ 0 、1 } ⊆ [ 0 、1 ]
及び弱双対定理確立する O のP T （P *）≤ O 、P 、T （D *）我々は次に、一緒にすべてを入れて：
O 、P T （P ）= O 、P T （P *）= O p t （D ∗）= O p t （D ）
O p t （P）≤ O P T （P∗） および O p t （D∗）≤ O P T （D ）
O p t （P∗）≤ O 、P 、T （D∗）O p t （P）= O p t （P∗）= O p t （D∗）= O p t （D ）
O p t （P∗）= O p t （P）バツs1、s2∈ Xs1≤ sの2s2≤ sの1バツ{ v1、v2}