正規ではない正規言語の連合

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私はその質問に出くわしました： 「2つの正規言語の例を挙げましょう。それらの和集合は正規言語を出力しません。」

通常の言語は組合のもとで閉鎖されていると思うので、これは私にとってかなり衝撃的です。つまり、2つの標準言語を使用してそれらを結合する場合は、標準言語を取得する必要があります。

そして、私はその証拠を理解していると思う：私の言葉では、言語が規則的であれば、それらを認識するオートマトンが存在する。すべての状態（結合）を取得し、エントリポイントに新しい状態を追加し、イプシロンを使用して新しい状態の遷移関数を変更した場合、問題ありません。また、すべての州などからのパスが存在することを示します。

どこが間違っているのか、あるいは質問にアプローチする別の方法を教えてください。

質問の出典、演習4、フランス語。

また、交差点でも同じ質問がされます。

formal-languages regular-languages closure-properties

— デイブ
ソース

それを見る別の方法。そのような無限の結合が通常の言語を生み出すと仮定します。非正規言語

検討します。あなたは、サブ言語用の無数にその要素を分割することができる

の各

有限の（したがって正規）です。ここで、すべての

結合を行います。仮定により、これは通常の言語ですが、

は非通常の言語であると仮定したため、矛盾があります。無限連合での閉鎖を許可すると、すべての言語が通常になります。

L

$L$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

L

$L$

— バクリウ14年

無限結合の場合：非正規言語

を取り、各

を検討します。明らかに、

は規則的です。

L = {w_{1}, w_{2}, w_{3}, \dots}

$L = \{w_1, w_2, w_3, \dots \}$

L_{i} = {w_{i}}

$L_i = \{w_i\}$

L_{i}

$L_i$

— –PålGD 14

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あなたがそれを提起するときの質問と演習で提起された質問の間には大きな違いがあります。質問は正規言語のセットの例を依頼ように彼らの組合定期的にではないが。ユニオンの範囲に注意してください：から。通常の言語は有限結合の下で閉じられており、問題でスケッチする線に沿って証明が実行されますが、これは無限結合の下ではバラバラになります。これは、 $L_{1}, L_{2}, \ldots$

L = ⋃_{i = 1}^{\infty} L_{i}

$L = \bigcup_{i=1}^{\infty}L_{i}$

1

$1$

\infty

$\infty$

それぞれについて

（と

）。もちろん、これらの言語の無限和集合は正規非正規（文脈自由）言語与える

。

L_{i} = {0^{i} 1^{i}}

$L_{i} = \{0^{i}1^{i}\}$

i

$i$

Σ = {0, 1}

$\Sigma = \{0,1\}$

L = {0^{i} 1^{i} ∣ i \in N}

$L = \{0^{i}1^{i}\mid i \in \mathbb{N}\}$

余談ですが、通常の証明が失敗する場所を簡単に確認できます。新しい開始状態と遷移を古い開始状態に追加する同じ構造を想像してください。無限のオートマトンでこれを行うと、有限のオートマトンの定義と明らかに矛盾する、無限の数の状態を持つオートマトンが構築されます。 $\varepsilon$

最後に、私は「ドナードゥexemplesデスイートデlangages ...」、である（起動する元の質問の言い回し、から生じうる混乱を推測している大体、私のフランス語は少しさびているが、外部から検証します！）「言語の2つの例を与える...」ではなく、「言語のシーケンスの2つの例を与える...」。しかし、不注意な読書は、2番目を最初のものと間違える可能性があります。

— ルーク・マティソン
ソース

1

また、

を

集合補数として定義すると、それらの交差も不規則になります。あなたのフランス語の読みは大体ではなく正しいです。

M_{i}

$M_i$

L_{i}

$L_i$

— ローランラリッツァ14年

あなたはフランス語の翻訳部分について正しいです。私はそのシーケンス部分は重要ではありませんでしたが。ハハ。答えてくれたおかげで、その違いは今では明らかです。

— デイブ14年

3

2番目の質問のために、によって定義された言語を検討いずれかのことを確認、規則的です（1）左の集合は有限であり、したがって規則的であるため、（2）右の集合は正規表現

M_{n} = {a^{k^{2}} ∣ 1 \leq k \leq n} \cup {a^{j} ∣ j \geq (n + 1)^{2}}

$M_n = \{a^{k^2}\mid 1\le k \le n\}\cup\{a^j\mid j\ge(n+1)^2\}$

n \geq 1

$n\ge 1$

M_{n}

$M_n$

a^{n} a a^{*}

$a^naa^*$ （3）通常の言語は、ご存じのように有限の結合の下で閉じられます。

これは、任意の整数をすることを示すために、あまりにも難しいことではありません我々が持っている、したがって、そう誘導我々が持っている（実際にはここでは必要ありませんが、省略するにはあまりにもきれいです）。 $n\ge 1$ $M_{n+1}\subseteq M_n$ $M_n\cap M_{n+1} = M_{n+1}$

⋂_{i = 0}^{n} M_{i} = M_{n}

$\bigcap_{i=0}^n M_i = M_n$

$M_n$ $a^{n^2+1},a^{n^2+2}, \dotsc, a^{(n+1)^2-1}$

⋂_{i = 0}^{\infty} M_{i} = {a^{n^{2}} ∣ n \geq 1}

$\bigcap_{i=0}^\infty M_i = \{a^{n^2}\mid n\ge 1\}$ 通常の言語ではないことが知られています。（この事実を知らなかった場合、それは多くの理論テキストにあり、証拠は読む努力の価値があります。）

— リック・デッカー
ソース

1

なぜ複雑な正規言語を選択して、正規集合が無限結合の下で閉じられないことを示すのですか？シングルトン言語は、RE言語が通常の集合の無限結合であることを示すのに十分です。

$L$ $w\in L$ $i=index(w)$ $L_i=\{w\mid i=index(w)\}$ $L_i$ $L =\bigcup_{i=1}^{\infty}L_i\;$ REです。

$M_i=\Sigma^*\setminus L_i$ $M_i$ $\bigcap_{i=1}^{\infty}M_i= \Sigma^*\setminus L\;$ $L$

したがって、すべての再帰言語は、通常のセットの無限の結合であり、通常のセットの無限の交差点でもあります（同じものではなく、それらの補集合:)。

無限は驚きに満ちており、任意の大きな値に当てはまることは、無限には当てはまらない場合があります。

— バブー
ソース

1

$\{\epsilon\} \bigcup \{a\} \bigcup \{b\} \bigcup \{aa\} \bigcup \{bb\} \bigcup \{aaa\} \bigcup \{aba\} \bigcup \{bab\} \bigcup \{bbb\} \bigcup \ ...$

$\Sigma^* - \{ p_i \}$ $p_i$ $i$

— アンドレス
ソース