二次時間を必要とする可能性のある問題

入力に対して $\Omega(|x|^2$ ）の下限を持つ問題の例を探しています。 $x$

問題には次のプロパティが必要です。

$\Omega(n^2)$ 任意のアルゴリズムのランタイムプルーフ-最初の優先順位は、可能な限り単純な下限引数を持つことです。
$O(n^2)$ アルゴリズム、可能であれば、単純なアルゴリズム。
（またはそれ以下）の出力サイズ。明らかに、長さの出力を必要とする問題には、少なくとも同様の実行時間が必要でしたが、それは私が探しているものではありません。決定の問題がここに収まることに注意してください。 $O(n)$ $\Omega(n^2)$
（可能であれば）「自然な」問題。正式な定義がなければ、CSの卒業生が認識する問題が望ましいです。

私は最近そのような問題について尋ねられましたが、簡単な問題を思い付くことができませんでした。最初に思い浮かんだ問題は、これはランタイムの問題であると思われました。これは十分に単純ではなく、さらに、この共役は最近偽りであることが証明されました：o。 $3SUM$ $\Omega(n^2)$

極めて不自然な問題に行く、私は入力決定論TMおよび入力として取得する問題と考えてい $\langle M \rangle,x$ 、および後にテープヘッドの位置を出力 $(|M|+|x|)^2$ 、それはだときの手順実行すると、 $x$ おそらく質問に答えます。

どうしても必要な場合は、シングルテープTMモデルを使用していることに同意してください。ただし、ランタイムが正確なモデルに依存しない問題をお勧めします（合理的なモデルであれば）。

したがって、実行時間がある単純な（証明する）自然な（よく知られている）問題を見つけることができますか？ $\Theta(n^2)$

complexity-theory turing-machines time-complexity lower-bounds

— RB
ソース

「与えられた自然数

、

計算」が適格だと思います。また、この質問に注意してください。

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— ラファエル

マルチテープチューリングマシンで超線形の下限を証明する唯一の方法は、対角化による方法です。シングルテープチューリングマシンの場合、交差シーケンスを使用すると少し良くなりますが、おそらくスペースを制限しない限り

までではありません。

n^{2}

$n^2$

— ユヴァルフィルム14

関連する別の質問はこちらをご覧ください。入力の反転は良い候補のようです。

— ラファエル

NPの最適な下限はO（n）であるため、決定問題でそれを行うことはできないと思います。

— アルバートヘンドリックス

コメント@AlbertHendriksをありがとう。あなたは最高のために下界知られていると主張したソース/アンケートへの参照を共有してくださいすることができます任意の NP問題である

？

Ω (n)

$\Omega(n)$

— RB

回答:

vy 望のないケーキカットを見つけるには、クエリが必要です。ただし、計算モデルはチューリングマシンとは異なるため、これは質問に直接答えません。 $\Omega(n^2)$

ところで、現在この問題の最も速い既知のアルゴリズムはクエリを必要とするため、下限から大きなギャップがあります-おそらくコンピュータサイエンスの最大のギャップの1つです。 $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— エレル・セガル・ハレビ
ソース

ラファエルが提供するリンクのように、ピーターは、バニラシングルテープTM では入力反転に $\Theta(n^2)$ 時間を要することを示しています。決定問題の場合、言語

L = {x 0^{| x |} x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ も証明可能必要

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$ の計算に時間。これを確認するには、

が必要とする古典的な結果とともに、ピーターの通信の複雑さの引数を使用します

E Q_{n}

$EQ_n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

L

$L$ 2次下限を示すための

ビットの通信。より自然なのための同様のアプローチ作品

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ 。

ちなみに、ユヴァルが言及した「交差シーケンス法」は、（私の知る限りでは）コミュニケーションの複雑さと数学的に同等（または多分情報）であることに言及する価値があります。

$\mathsf{SAT}$ $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ $n^{o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$

— ルウィンズ
ソース