オイラーパスを見つけるのはハミルトニアンパスを見つけるのにPではないことを理解するのは直感的ですか？

よくわかりません。私が理解していることから、エッジと頂点は互いに補完的であり、この違いが存在することは非常に驚くべきことです。

実際にハミルトニアンパスを見つけることは、オイラーパスを見つけるよりもはるかに難しいことを確認するための良い/迅速/簡単な方法はありますか？

多分次の視点が役立つでしょう：

オイラー経路を構築しようとしているときは、ほぼ貪欲に進むことができます。あなたはただどこかで道を始め、できるだけ長く歩こうとします。円を検出した場合、そのエッジを削除します（ただし、この円が作成されたことを記録します）。これにより、グラフを円に分解し、簡単にオイラーツアーと組み合わせることができます。ポイントは、「グラフを横断する方法」というあなたの決定が実際に間違っていることはないということです。あなたは常に成功し、行き詰まることはありません。

ハミルトニアン経路の状況は異なります。繰り返しになりますが、グラフの端に沿って歩いてパスを作成することもできます。しかし、今回は本当に悪い決断をすることができます。つまり、パスを続けることはできませんが、すべての頂点にアクセスしたわけではありません。あなたができることはバックトラックです。つまり、以前の決定の一部を元に戻して、別の道を歩むことになります。基本的に、一般的な問題で知られているすべてのアルゴリズムは、何らかの方法でバックトラッキングを行うか、大規模なソリューションのセットを試します。ただし、これはNP完全問題の特徴です。

つまり、（簡略化された）ボトムライン：オイラー経路はバックトラッキングを必要としませんが、ハミルトン経路は必要です。

（P = NPである可能性があり、この場合は巧妙なハミルトニアンパスアルゴリズムが存在することに注意してください。）

あなたの直感に役立つかもしれないもう1つの詳細は、各頂点に次数がある場合にのみ、オイラーサイクルが存在することです。オイラーパスにも同様の定理があります。これは、かなり単純な証明に基づいています。基本的に、頂点にアクセスするたびに、その場所を離れる必要があるため、各「visit」は頂点の次数から2を取得します。これは、なぜハミルトニアンパスが難しいのか（もちろん、実際にはわかりません）を説明していませんが、オイラーパスを見つけるのが簡単な理由を説明するのに役立ちます。

ビクター・アダムチクが証明についてわかりやすい説明をしています。ほとんどのグラフ理論/離散数学の本には、おそらくより簡単にわかる証明もあるでしょう。

他の答えは、そのような単純な証明がハミルトンサイクルで機能しないように見える理由をいくらか直観的に示しています。

「オイラー経路を見つけることはハミルトニアン経路を見つけることがPにないことを理解することは直観的ですか？」

あなたの質問の仮定は正しくありません。

注意私たちが知らないこと$\mathrm{HamPath}$ にない $\mathsf{P}$！誰かがいつか非常に賢い特徴付けを見つけるかもしれません$\mathrm{HamPath}$ （の特徴付けと同様 $\mathrm{EulerPath}$ 学位を持っているように）それを中に入れます $\mathsf{P}$。

ほとんどの人はそれがではないと信じています$\mathsf{P}$しかし、それは証明されていません。それがありそうにない理由の議論（証明ではありません！）$\mathsf{P}$ の引数と同じです $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ そして彼らのほとんどはあまり話さない $\mathrm{HamPath}$ それ自体であるという事実以外は $\mathsf{NP\text{-}complete}$。

今、あなたは理由を尋ねるかもしれません $\mathrm{HamPath}$ です $\mathsf{NP\text{-}complete}$ それを示すことはできません $\mathsf{EulerPath}$ です $\mathsf{NP\text{-}complete}$？誰かがそれの特徴を見つけたので$\mathsf{P}$ そして、答えは私たちが信じる理由に似ています $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ そのため、その可能性は低いですが（証明されていません！） $\mathsf{EulerPath}$ です $\mathsf{NP\text{-}complete}$。

以下に、簡単な見方を示します。HAM-PATH問題は$\mathsf{NP}$-完全なので、現在、多項式時間で解けるかどうかはわかりません。少なくとも誰もそのようなアルゴリズムを考え出していません。一方、オイラー経路の問題は、$\mathsf{P}$それには多項式時間アルゴリズムがあるからです。あ$\mathsf{NP}$-HAM-PATHなどの完全な問題は、これまで攻撃に抵抗してきたため、これは、 $\mathsf{P}$、オイラー経路を見つけると言います。