NP完全問題から有界PCPへの多項式簡約

テキストブックはどこにでもいると仮定有界ポストの対応問題が NP完全である（せいぜい回の繰り返しで許可されたインデックスを）。ただし、別のNP完全問題からの単純な（学部生が理解できるような）多項式時間の短縮を示すものはどこにもありません。$N$

しかし、私が考えることができるすべての削減は、実行時に指数関数的（またはシリーズのサイズ）です。おそらく、SATに還元可能であることを示すことができますか？$N$

NP削減の場合によくあることですが、同様の問題を探すことは理にかなっています。特に、グラフの問題と矛盾する「多項式で多くのタイルを持つノード」を「いくつかのノードを見た」ようなグローバル条件をエンコードすることは困難です。パッキングの問題は、PCPで単項数をエンコードすることを必要としますなど。したがって、ローカル制限のみの文字列の問題が最適に機能することが期待できます。

最短共通スーパーシーケンス問題の決定バージョンを考えてみましょう。

二つの文字列所与ととと、文字列があるか否かを決定とはとが部分列であるような。$a,b \in \Sigma^+$$|a|=n$$|b|=m$$k \in \mathbb{N}$$c \in \Sigma^+$$|c| \leq k$$a$$b$$c$

アイデアは、PCPのビルドのsupersequencesせることであると、我々はしているどの位置でタイルオーバーラップにエンコードする、左から右へとそれぞれ。それはでシンボルあたり1枚のタイルを使用する、その BPCPのバインドに対応して：我々がこのPCPを解決することができればタイルは、一般的な同じ長さのsupersequence、およびその逆を読み取ることができます。$a$$b$$a$$b$$c$$k$$\leq k$

タイルの構築は少し面倒ですが、非常に明確です。または転送しないタイルは作成しないことに注意してください。このようなものは、最短の共通スーパーシーケンスの一部になることはないため、不要です。縮小のプロパティを壊すことなく、簡単に追加できます。$a$$b$

オーバーラップの数値はバイナリでエンコードされますが、外側のシンボルを使用し、共通の長さパディングし。したがって、グラフィックが示唆するようにタイルが使用されるようにします（テトリス）。つまり、文字とインデックスエンコーディングのオーバーラップが混在しないようにします（PCPはそれ自体を防止しません）。必要なもの：$\Sigma$$\log \max(m,n)$

• 開始タイル： 等しい場合、は、または両方で開始できます。$c$$a_1$$b_1$
• 中間タイル： で次のシンボルに進むことができで、それらが等しい場合、またはその両方。$c$$a$$b$
• 終端タイル： の最後のシンボルで終了（最後の1つが既に見られている）のための同様の、または両方の最後のシンボルを有します。$c$$a$$b$$b$

これらはタイル回路図です。中間タイルは、すべてのペアに対してインスタンス化する必要があることに注意してください。上記のように、とそれぞれの文字が一致場合にのみ、なしでタイルを作成します。$(i,j) \in [n]\times [m]$$*$$a$$b$

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「気にしない」を象徴しています。実際のタイルでは、他のシンボルをそこにコピーする必要があります。タイルの数はあり、各タイルの長さはであるため、構築されたBPCPインスタンス（アルファベットプラス分離記号）は多項式サイズです。さらに、すべてのタイルの構築は明らかに多項式時間で可能です。したがって、提案された縮約は、NP完全最短共通スーパーシーケンス問題をBPCPに縮約する有効な多項式変換です。$*$$\Theta(mn)$$4\log \max(m,n) + 1$$\Sigma \cup \{0,1\}$

BPCPがNP完全であることを証明するには、その決定不可能性を証明するために使用されるものと同様の削減を使用することで証明できると思います。NPの問題を多項式時間でどのように削減するかを示すことにより、BPCPがNP完全であることを直接証明します。

PCPが決定不能であることを証明するために使用される標準的な削減（ここで概略を示します）は、一連のタイルを構築して、文字列特定のTM受け入れ計算がある場合にPCPソリューションがあるようにします。この削減で作成されるタイルの数は、多項式的に大きくなります。具体的には、構築されるドミノの数は、テープのアルファベットのサイズとTMの状態の数の関数です。サイズが大きい可能性がある唯一のドミノは、最初のドミノで、$M$$w$$w$それに書かれた。決定論的TMでの作業から非決定論的TMでの作業にこの削減を一般化すると、トランジションの数は有限であるため、最大で一定数のドミノが導入されます。その結果、多項式時間での通常の決定不能性の低減のためのドミノの標準セットを構築できます。

これを考えると、NP問題を次のようにBPCPに還元できます。NP問題がある場合、時間で実行される多項式時間NTMがあります。その後、次のように多項式時間でこの問題をBPCPに減らすことができますからドミノの標準セットを構築し、ドミノを使用する解があるかどうかを尋ねます。ここで、はソリューションが存在するために必要なドミノの数（これはおそらくようなものであり、確かに指数関数的ではありません）。次に、PCPが決定不能であることを示すために使用するのと同じ証明を使用して、最大でを使用するこのBPCPインスタンスに対する解決策があることを証明できます。$M$$p(n)$$M$$f(p(n))$$f$$n^2$$f(p(n))$元のNTMステップ内で受け入れる場合、タイル。その結果、NPのすべての問題からBPCPへの多項式時間の削減があるため、BPPCはNP困難です。$M$$m$$p(n)$

（BPCPがNPにあることも示す必要がありますが、それは簡単です。どのドミノを並べるべきかを非決定的に推測し、それを決定的に検証するだけです）。

お役に立てれば！