なぜしない

でCLRS（ページ49-50上）、次の文の意味は何ですか。

$\Sigma_{i=1}^{n} O(i)$ （の単一の匿名関数である $i$ ）が、同じではありません実際に持っていません、解釈。」 $O(1)+O(2)+\cdots+O(n)$

asymptotics landau-notation

— ケサリ
ソース

私はあなたの質問をより正確に定式化しようとしました。また、ここではラテックスがサポートされているため、適切にフォーマットされた数学を記述できます。より具体的にすることをお勧めします：何が混乱しているのですか？どの部分がトラブルの原因ですか？（たぶん、それに応じて質問のタイトルも編集できます）。

— Juho

また、関連参照：cs.stackexchange.com/questions/366/...とcs.stackexchange.com/questions/2814/...

— 蘭G.

間違いなく、拡張された合計にも解釈がありません。最初に書く必要があります。

O (\sum \dots)

$O(\sum \dots)$

— ラファエル

の意図する意味を誰かが説明できますか？次数 " " の関数の合計？、これはほとんど意味がありません。でインデックス付けされた関数の和と、ある順序の和??

\sum_{i = 1}^{n} O (i)

$\sum_{i=1}^nO(i)$

n

$n$

i

$i$

O (i) = O (1)

$O(i)=O(1)$

n

$n$

i

$i$

— Yves Daoust、2014年

回答:

以来、いることを示唆したくなる ...しかし、これは実際には有効ではありません。その理由は、合計の各項に異なる定数がある可能性があるためです。 $1+2+\dots+n =O(n^2)$ $O(1)+O(2)+\dots+O(n) = O(n^2)$

例

例を挙げましょう。合計、、、考えますなど。なお、、、、、などの各タームのために和。したがって、をの形式で書くのが妥当です。したがって、 $S(1) = 1^2$ $S(2) = 1^2 + 2^2$ $S(3) = 1^2 + 2^2 + 3^2$ $S(4) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ $1^2 \in O(1)$ $2^2 \in O(2)$ $3^2 \in O(3)$ $4^2 \in O(4)$ $S(j)=1^2 + \dots + j^2$ $S(j) = O(1) + \dots + O(j)$ $S(j) = O(j^2)$ ？いいえ。実際、 $S(n) = n(n+1)(2n+1)/6$ なので、 $S(n) = \Theta(n^3)$ です。

それでも問題が解決しない場合は、次のより正確な数学的開発を試してみましょう。

正式化

リコール、たとえば、の解釈ことが非負関数の組であることである、すなわち（、関数の集合の定数が存在するように、ようにすべてについて）。 $O(n^2)$ $f(n)$ $f(n)$ $c \ge 0, d\ge 0$ $f(n) \le c \cdot n^2$ $n\ge d$

解釈に最も近いのは、それがの形式の関数のセットであることです、その結果、 $O(1) + O(2) + \dots + O(n)$ $f_1(n) + f_2(n) + \dots + f_n(n)$ $f_1(n) \in O(1)$ 、···、。 $f_2(n) \in O(2)$ $f_n(n) \in O(n)$

しかし、各定数は異なる場合があります。したがって、各非負関数である定数が存在するように、と全てに対して。 $f_i$ $f_i$ $f_i$ $c_i\ge 0,d_i \ge 0$ $f_i(n) \le c_i \cdot i$ $n \ge d_i$

これで、について何が言えるでしょうか。あまり役に立たない。我々は定数が存在することを知っている、その結果 $g(n) = f_1(n) + f_2(n) + \dots + f_n(n)$ $d=\max(d_1,d_2,\dots,d_n)$ 全てについて。さて、この合計について何が言えるでしょうか？ええと、答えはまったく言えません。それは任意に大きくなる可能性があります。できるように誘惑された、その言う $g(n) \le c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 2 + \dots + c_n \cdot n$ $n\ge d$ $c=\max(c_1,c_2,\dots,c_n)$ ...しかし、我々は、単一の一定の値必要があるため、これは、実際には正しくないすべてのための作品という、および値の定数ではなく、関数です。 $g(n) \le c \cdot (1+2+\dots+n) \le c \cdot n^2 = O(n^2)$ $c$ $n$ $\max(c_1,c_2,\dots,c_n)$ $n$

だから、任意の定数が存在しない可能性がありますように。任意の定数が存在しない可能性がありますように。その保証はありません。 $c$ $g(n) \le c \cdot (1+2+\dots+n)$ $c$ $g(n) \le c \cdot n^2$ $g(n) \in O(n^2)$

もっと読むために

この一般的な問題を扱う他の質問については、https：//math.stackexchange.com/q/86076/14578およびSums of Landauの用語を再確認してください。

— DW
ソース

TLDR：あなたは彼らがすべてになりたいと同じ

が、彼らは正式に、ではありません。

f \in O (_)

$f \in O(\_)$

— ラファエル

CLRSのコメントが紛らわしいのは、技術的にはがとして定義されているためです。実際に起こっていることは、CLRSが簡略化のために表記法を乱用していることです。 $\sum_{i=1}^{n} O(i)$ $O(1) + O(2) + \ldots O(n)$

は一連の関数を表します。たとえば、、、およびます。 $O(1)$ $f(n)=1$ $f(n)=1/n$ $f(n)=n^{1/n}$
あなたが書くときあなたが技術的に2セットを追加しているととのsumsetの操作。DWが別の回答で明確に説明しているように、これが一定数以上の用語で行われると、予期しない動作が発生する可能性があります。 $O(1) + O(2)$ $O(1)$ $O(2)$

その代わり、CLRSは、このようにあなたのように解釈するでしょうとしてここで、一般的な関数。たとえば、彼らははまたは $\sum_{i=1}^n O(i)$ $\sum_{i=1}^n f(i)$ $f(i) \in O(i)$ $\sum_{i=1}^n 3i-5$ $\sum_{i=1}^n O(i)$ 。 $O(n^2)$

— アリ・トラクテンベルク
ソース

この説明は正しくありません。

を追加しても問題はありません。それは明確です。

は関数のセット、

が関数のセットである場合、

は通常、関数のセット

O (1) + O (2)

$O(1) + O(2)$

O (1)

$O(1)$

O (2)

$O(2)$

S, T

$S,T$

S + T

$S+T$

{f (n) + g (n) : f (n) \in S, g (n) \in T}

$\{f(n)+g(n) : f(n) \in S, g(n) \in T\}$

これが集合加算の一般的な定義であり、明確に定義されていることに同意しますが、それが一般的な意味であるとは思いません。上記の回答であなたが正しく言っているように、一定数以上の用語に集合加算を使用すると問題が発生します。

— Ari Trachtenberg

\sum_{i} O (i)

$\sum_i O(i)$

\sum_{i} f (i)

$\sum_i f(i)$

f

$f$

O (1) + O (2) + \dots + O (n)

$O(1)+O(2)+\cdots+O(n)$

f_{1} (1) + f_{2} (2) + \dots + f_{n} (n)

$f_1(1)+f_2(2)+\cdots+f_n(n)$

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}

$f_1,f_2,\dots,f_n$ そのような...」。全く同じではありません。

— JeffE 2014年