変数の数に指数関数的に多くの節がある場合、SATはPにありますか？

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少なくとも句を含むように長いCNFを定義します。ここで、はその変数の数です。ましょうは、満足できる長いCNF式です。 $2^\frac{n}{2}$ $n$ $\text{Long-SAT}=\{\phi: \phi$ $\}$

なぜなのか知りたいのですが。からへの多項式時間の短縮ができるので、最初はだと思いました。 $\text{Long-SAT} \in P$ $\text{NPC}$ $\text{SAT}$ $\text{Long-SAT}$

しかし、多分私はを削減できますか？それ、どうやったら出来るの？ $\text{2-SAT}$ $\text{Long-SAT}$

— 分子
ソース

@Numerator：質問の最後の文に注意してください。簡単な問題（この場合は2-SAT）を問題に減らしても、問題が簡単であるとは限りません。

— 伊藤剛

1

@TsuyoshiIto：私たちは奇妙なタグを維持しようとします。時々発生するものは自由に編集してください。広範囲にわたる（誤用）を見つけたり、反対に会ったりした場合は、それをメタに持って行ってください（質問の下のコメントで議論するのではなく）。

— ラファエル

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何か不足している場合を除いて、式の長さは変数の数で指数関数的であるため、Pでそれは取るに足らないことです。したがって、すべての真の割り当てを生成して、式の長さの多項式時間でチェックできます。 $2^{n}$

— ルーク・マチソン
ソース

しかし、チェックは依然として多項式時間として定義されていますか？

2^{n}

$2^n$

— 分子2012

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Pであるためには、入力のサイズが多項式時間で実行されるアルゴリズムが必要であることを覚えておいてください。この場合、入力のサイズをNとすると、ことがわかり。したがって、もあるので、割り当ては、全体の入力サイズ多項式のみになります。変数を使用するときにテキストがだまされないようにしてください。これは単なる変数であり、入力のサイズを常に最適に測定する特別なマジック番号ではありません。書式設定について申し訳ありません。これをスマートフォンで入力しています。

#clauses \leq N

$\text{#clauses } \leq N$

n = O (l o g N)

$n=O(log N)$

2^{n}

$2^n$

N

$N$

n

$n$

— ルークマシソン

@Numerator：あなたがやっているチェックを、入力の長さです。

2^{\log n} = n

$2^{\log n}=n$

n

$n$

— Xodarap 2012

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この場合、ルークが指摘するように、答えは簡単です。ただし、自分で定義したように見えるので、注意してください。

SATの場合、変数の数と句の数の比率に関するいわゆる相転移が観察されています[1,2]。小さい場合はインスタンスが簡単で、大きい場合はハードです。イージーからハードへの多少の急激な移行があるようです。これは活発な研究分野のようです。cstheory.SEは、この現象についてさらに詳しく説明しています。

したがって、 "long"の定義を多項式ブローアップに調整すると、変数よりもはるかに多くの句があるため、実際には簡単ではないクラス（つまり、P）が得られる可能性があります。

IPゲントによるSATフェーズの移行（1994）
R. Monasson、R。Zecchina et al。による特徴的な「相転移」から計算の複雑さを決定する。（1999）

— ラファエル
ソース

4

実際、これは簡単なことではなく、相転移に関する簡単なことです。2つの領域があります：拘束不足と過剰拘束。最初の方法では、ソリューションが密に分散されているため、すぐに成功します。2番目の方法では、すぐに失敗します。妥当なアルゴリズムがあれば、そのような解決策が存在する場合（強力な引き込み領域）は解決策を見つけます。解決策がない場合は、潜在的な解決策のパスが早期に遮断されるため、バックトラッキングアルゴリズムがすばやく解決できます。難しい問題はこれらの領域の境界にあります。解の確率は低いですが無視できません。

— Juho