ゲーデルス（最初）の不完全性定理と停止問題-どのように制限されていますか

これらのことを最初に聞いたとき、それは数学と科学一般に本当に限界を設定すると思ったので、私はとても魅了されました。しかし、これらは実際にどの程度関連していますか？

停止問題の場合：アルゴリズムが終了するかどうかを決定できない、人為的に構築されたケース以外にもありますか？

不完全性定理の場合：人為的に構築されたケース以外に、ステートメントを証明または反証できないケースはありますか？

科学のほとんどの領域では、そのような基本的な制限があることは本当に問題ではないように思われるので、私はこれを尋ねています。彼らもそこにいますか？これが本当に限界を設定する場所とそれが本当に関連する場所を知りたいのですが。

決定不可能である停止問題には、多くの実用的な関連性があります。ここに簡単な例を示します。

ウイルス対策ソフトウェアの作成は困難です。特定のコードが悪意のあるものであるかどうかを判断することはできません。できれば停止の問題を判断できるためです。

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これが言っていることは、完璧なウイルス対策ソフトウェアは存在しないということです。だからといって、ウイルス対策ソフトウェアを書こうとするべきではないということではなく、完璧なソフトウェアを書けないということです。実際、プログラムが何をするかを決定することについてのいかなる陳述も決定できません（ライスの定理を参照）。

ゴデルの定理に関して、グッドスタインの定理は、ペアノの公理を使用して証明できないステートメントの例です。

停止問題の場合：アルゴリズムが終了するかどうかを決定できない、人為的に構築されたケース以外にもありますか？

停止の問題が役割を果たすアクティブな研究には、「大体実用的/応用的」な状況がかなりあります。

• 自動化された定理証明。コンピューターによる定理の証明は、停止問題と同じ決定不能の限界にぶつかります。

• 実際のプログラムのプログラム終了を証明することは研究分野であり、たとえばコンパイラロジックやプログラム分析に現れます。

• コルモゴロフの複雑さは、データ圧縮アルゴリズムの理論上の限界を研究しようとします。最適な圧縮を見つけること（ある意味で、つまり文字列を圧縮する最小のTMを見つけること）は決定できません。

• 決定不能はいくつかの物理的な問題に現れます。例えば、動的システム。

• 「忙しいビーバー」問題と呼ばれる研究された基本的な問題。まだ理論的ですが、停止の問題ほど抽象的ではなく、特にその関連について研究しました。研究者は、数十の状態/シンボルを持つ「小さな」TMについて、何十年もの間これを解決することを試みてきました。

ここで忙しいビーバーの問題を研究最近の論文から関連/興味深い引用である「ビジービーバーの競争から数論の問題点を」ミシェル（P.3）では：

実際、ブランクテープで起動されたチューリングマシンの停止問題はm完全であり、これはこの問題がZFC（Zermelo Fraenkel集合理論選択の公理）。したがって、より多くの状態とシンボルを備えたチューリングマシンを研究すると、数学のすべての定理が満たされる可能性があります。止まらないことが証明されるために止まらないチューリング機械がますます研究されるとき、人は数学のハードオープン問題、つまり現在の数学的知識では解決できない問題に直面することを期待する必要があります。

言い換えると、停止の問題は、数学/ CSで新しい数学的定理を証明しようとする挑戦を実際にエンコード/カプセル化するため、この意味で非常に深い/実用的/適用されていると見なすことができます。（しかし、一部の人はこの観察を明白または些細なことと考えていますが、これは一般に一般的に保持されている/発言された意見でもありません。）

停止の問題に関して、私はあなたの2つの質問の1つに答えています。

まず、停止問題の決定不能性は、特定のTMが停止しないかどうかを決定できないことを示していません。それは、すべてのTMに対してそれを決定できる一般的なアルゴリズムはないと述べています。

これは、計算を構成するモデルについての声明です。しかし、チューリング＝チャーチの論文によれば、それだけで計算を表現する必要があります。

関連性に関しては、人工的に構築されたチューリングマシンに基づいています。しかし、すべてのTMはかなり人工的であり、計算に関するいくつかの事実を主張するためにのみ構築されています。一部のTMが実際に他のTMより関連性があるかどうかは、天使の性別、または針頭に立つことができるそれらの数と同じくらい重要な問題です。

停止問題の決定不能性は、すべてのケースに適用できる一般的な手法では解決できない一般的な質問があることを示しています。一般的な質問で私が意味するのは、いくつかのパラメーターに依存する質問であり、パラメーターのいくつかの値について答えが見つかるはずです。

私たちの数学の多くの目的は、一連の問題を解決するための一般的な手法を見つけることです。典型的な例は方程式の解決です。停止問題の決定不能性は、これが常に可能であるとは限らないことを示しています。

たとえば、文脈自由文法があいまいかどうかを判断する一般的な手法がないことを示すために使用できます。

ただし、質問は有効です。少し一般的になりすぎたため、問題が特定できない可能性があります。おそらく、それを少し制限することで、有用でありながら十分に大きなサブファミリーに決定できるようにすることができます。

見事な例は考えていませんが、いくつかあるはずです。

私は、NP完全であることが証明されたプログラム分析問題の真のケースを1つ思い出します（それが決定できない場合を除いて、よく覚えていません）。すべてのアドバイスに対して、博士課程の学生はとにかくそれに取り組むことにしました。実際にはそれほど問題ではなかった問題に対するいくつかの制限が、それを非常に扱いやすい問題に変え、さまざまなプログラム分析および最適化ツールの使用を可能にしたことを実際に示すことができました。