bicriteria近似アルゴリズムとは何ですか？

bicriteria近似アルゴリズムとは何ですか？これは、データストリームのクラスタリングの場合に発生し続けます。これは多目的最適化に関連していますか？

これが私が出会った場所です：cis.upenn.edu/~sudipto/mypapers/datastream.pdf。この論文は、k-meansアルゴリズムのストリーミングバージョンに関するものです。論文には参考文献がありますが、二基準の近似アルゴリズムとは何かについての説明はありません。Googleで正確な定義が得られるものを見つけることができないようです。

私は上の拡大よのYuval Filmusによって解答に基づいて解釈を提供することにより、多目的最適化問題。

単一目的の最適化と近似

コンピューターサイエンスでは、単一の目的（たとえば、いくつかの制約の下でf（x）を最小化する）で最適化問題を研究することがよくあります。たとえば、NPの完全性を証明する場合、対応する予算問題を考慮することが一般的です。たとえば、最大クリーク問題では、クリークのカーディナリティを最大化することが目的であり、予算問題は、少なくともkのサイズのクリークがあるかどうかを決定する問題です。ここで、kは、問題。

最大クリーク問題の場合のように、最適解を効率的に計算できない場合は、最適解の乗法因子内で解を出力する関数である近似アルゴリズムを探します。また、予算の問題に対する近似アルゴリズム、溶液を出力する機能を検討する可能性を満たすF（X）≥ CK最大化問題の場合、cは数1未満です。この状況では、溶液は、ハード制約違反する可能性があり、F（X）≥ Kが、違反の「重症度」で囲まれているC。

多目的最適化と二基準近似

場合によっては、2つの目標を同時に最適化する必要があります。大まかな例として、「収益」を最大化し、「コスト」を最小化したい場合があります。このような状況では、2つの目的の間にトレードオフがあるため、単一の最適値はありません。詳細については、パレート効率に関するWikipediaの記事を参照してください。

2つの目的の最適化問題を1つの目的の最適化問題に変換する1つの方法（目的関数の最適値について推論することができます）は、各目的に1つずつ、2つの制約問題を検討することです。問題を同時に最大化することである場合、F（X）最小限に抑えながら、G（Xは）、第1の制約の問題は最小限に抑えることであるG（X制約に）被験体F（X）≥ K、kはへの入力の一部として与えられるのこの単一目的最適化問題。2番目の制約問題も同様に定義されます。

最初の制約問題の（α、β）-bicriteria近似アルゴリズムは、予算パラメーターkを入力として受け取り、次のような解xを出力する関数です。

• $f(x) \geq \alpha k$
• $g(x) \leq \beta g(x^*)$

$x^*$

• $f(x) \geq \alpha f(x^*)$
• $g(x) \leq \beta \ell$

言い換えると、二基準近似アルゴリズムは、第1の目的の予算問題と第2の目的の最適化問題を同時に近似化したものです。（この定義は、IyerとBilmesによる2013年の「サブモジュラーカバーとサブモジュラーナップザック制約を使用したサブモジュラー最適化」の4ページから採用されました。）

不等式は、目的が最大から最小に、またはその逆に切り替わるときに方向を切り替えます。

$k$$\rho$$k$$V_1,\ldots,V_k$$\rho$$E(V_1,\ldots,V_k)$$\rho$

$f(n),g(n) \geq 1$$f(n),g(n)$$V_1,\ldots,V_k$$f(n)\rho$$g(n)\mathrm{OPT}$$\mathrm{OPT}$$\rho$

言い換えると、bicriteria近似アルゴリズムは、いくつかの制限された量の制約に違反しながら、特定の近似比を実現します。今説明した問題の二基準近似アルゴリズムの例については、Makarychev兄弟によるこの論文を参照してください。