一連の個別の選択肢の全体的な変動を最小限に抑える

私のセットアップは次のようなものです：一連の整数のセットがあります $C_i (1\leq i\leq n)$、 $|C_i|$ 比較的小さい-すべてのアイテムで約4または5アイテム $i$。シーケンスを選びたい$x_i (1\leq i\leq n)$ それぞれと $x_i\in C_i$ 合計のバリエーション（ $\ell_1$ または $\ell_2$、すなわち $\sum_{i=1}^{n-1} |x_i-x_{i+1}|$ または $\sum_{i=1}^{n-1} \left(x_i-x_{i+1}\right)^2$）が最小化されます。それぞれの選択のようですが$x_i$ が「ローカル」である場合、問題は選択が伝播して非ローカルな影響を与える可能性があるため、問題は本質的にグローバルなものであるように見えます。

私の主な関心事は、問題の実用的なアルゴリズムです。現在、短いサブシーケンスの変異に基づいたアニーリングメソッドを使用しています。これらは大丈夫なはずですが、もっとうまくできるはずです。しかし、私は抽象的な複雑さにも興味があります—私の直感は、標準のクエリバージョン（ '全体的なバリエーションのソリューションがあるか）$\leq k$？ '）は、3-SATのようないくつかの制約問題からの削減を介してNP完全ですが、削減がよくわかりません。以前の研究へのポインタがあれば歓迎します。これまで見られたことがないとは思えないほど自然な問題のようですが、これまでのところ、私の検索ではまったく同じような結果は得られていません。

これが動的プログラムです。と仮定する$C_i = \{C_{i_1}, \ldots, C_{i_m}\}$ すべてのために $i \in [n]$間違いがないように; 以下は、$C_i$カーディナリティが異なります。しましょう$\operatorname{Cost}(i, j)$ 最初のシーケンスの最小コストになる $i$ セット、で終わる $C_{i_j}$。次の再帰は、$\operatorname{Cost}$：

$\qquad \displaystyle \begin{align} \operatorname{Cost}(1,j) &= 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad, 1\leq j \leq m \\ \operatorname{Cost}(i,j) &= \min_{k = 1}^m \left(\operatorname{Cost}(i - 1, k) + \lvert C_{(i-1)_k} - C_{i_j} \rvert\right) \ , 2 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m. \end{align}$

全体の最小コストはです。実際の選択の順序は、途中でアーグミンを調べることによって決定できます。ランタイムはです。$\min_{j = 1}^m \text{Cost}(n, j)$$O(nm)$

これは、有向非循環グラフで最短経路を計算するだけで解決できるようです。推論は、目的関数が、セット内の選択された「近傍」間の合計距離を最小化することです$\mathcal{C} = \{C_1, \dotsc, C_n\}$。

を構築する $n$-段階グラフ $G = (\bigcup_{i=1}^n V_i, E)$ どこ $v \in V_i$ ユニークな要素に対応 $x \in C_i$。それぞれについて$u \in V_i, v \in V_{i+1}$、有向エッジを追加 $(u, v)$ コストは $\ell_1$ または $\ell_2$ 距離。

次に、ソース頂点を追加します $s$ 0コストのエッジで $V_1$ そしてシンク頂点 $t$ からの0コストエッジ $V_n$。とすれば$G$ はDAGであり、両方の距離関数がエッジコストを負でない値に強制します。最短経路を計算できます $O(V + E)$トポロジカルソートと動的プログラミング（ここでの説明と同様）。