正規言語と非正規言語の交差と結合

してみましょう、規則的での正規、規則的ではありません。ことを示し $L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_2$ 、正規ではないか、反例を与えます。 $L_1 \cup L_2$

私はこれを試してみました：を見。これは定期的です。私はこのために、有限オートマトンを構築することができる：規則的であり、規則的であるのでためのすべてのパス（有限量）を削除のパスの有限量から。そのため、この全体に使用できるパスの数には限りがあります。このことはから切り離されていますが、 $L_1 \setminus (L_2 \cap L_1)$ $L_1$ $L_2 \cap L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \setminus (L_1 \cap L_2)$ （通常）および $L_2$ （規則的ではない）が正規ではありませんか？

formal-languages regular-languages

— ケビン
ソース

「そうするためのすべてのパス（有限量）を削除

のパスの有限量から

」 -ことを意味するものとなっていますか？差のためにオートマトンを構築する通常の方法で使用することである

および補体との交点のためのよく知られた構成を。

L_{1} \cap L_{2}

$L_1\cap L_2$

L_{1}

$L_1$

A ∖ B = A \cap \bar{B}

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

— ラファエル

この質問のタイトルを変更することを好みます。それ自体で質問のタイトルは間違った記述です。

— nitishch 14

回答:

$\overline{L_1} = \Sigma^* \setminus L_1$ $L_2$

$L_2 = ((L_1 \cup L_2) \setminus L_1) \cup (L_1 \cap L_2) = ((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$

私たちは知っています：

通常の言語は、結合、交差、補完の下で閉じられます
$\overline{L_1}$ $L_1 \cap L_2$ are regular
$L_2$ is not regular

Now assume $L_1 \cup L_2$ is regular: Then $((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$ is regular (as it is only a union/intersection of regular languages), so $L_2$ would be regular. That is a contradiction, therefore our assumption is false, and $L_1 \cup L_2$ can not be regular.

— Mike B.
ソース

I think I got it. But why is the complement of a regular language regular? I don't get that part.

— Kevin

@Kevin This is a well-known lemma, so you should find a proof in any textbook. One proof method is to take a finite automaton and swap the accepting and non-accepting states: you get an automaton that recognizes the complement language.

— Gilles 'SO- stop being evil'

And what for non-deterministic finite automata? Suppose we have an automata.

A = {a, b}

$A = \{a,b\}$ , one initial state, two arrows from that state with

a

$a$ to another state. One of those states is accepting and one not. So

L (M) = {a}

$L(M)=\{a\}$ . If we now swap the accepting states, it will still accept

{a}

$\{a\}$ , so it does not hold that it that accepts the complement language!

— Kevin

Gilles' proof works only for deterministic finite automata, which - for regular languages - isn't a restriction. But as he said, this lemma can be found in any textbook.

— Mike B.

@Kevin: Mike means that every regular language has a deterministic automaton to recognize it so you can always use one.

— reinierpost

-4

That is wrong. Consider $L_1 = \{a, b\}^*$ , $L_2 = \{a^n b^n : n \ge 0\}$ . $L_1$ is regular, $L_2$ isn't; but $L_1 \cup L_2 = L_1$ .

— vonbrand
ソース

You have failed to satisfy the condition that

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$ is regular.

— Andrej Bauer