チューリングの完全性が正しいのはなぜですか？

このメッセージを書くのにデジタルコンピューターを使用しています。このようなマシンには、考えてみると、実際に非常に注目すべき特性があります。適切にプログラムされていれば、可能な計算を実行できるマシンです。

もちろん、何らかの機械を計算することは古代に戻ります。人々は、加算と減算（算盤など）、乗算と除算（スライド規則など）、および惑星の位置の計算機など、よりドメイン固有のマシンを構築しています。

コンピューターの驚くべきことは、それが実行できることです どんな計算です。すべての計算。そして、すべてマシンを再配線する必要はありません。今日、誰もがこの考えを当たり前のように受け止めていますが、立ち止まって考えてみると、そのようなデバイスが可能なのは驚くべきことです。

実際に2つの質問がありますます：

1. 人類はいつそのような機械が可能であると理解したのですか？深刻な疑いがあったことがありますかそれができるかどうかについてはありましたか？これはいつ解決されましたか？（特に、最初の実際の実装の前または後に解決されましたか？）

2. 数学者はどのように証明しましたかは、チューリング完全なマシンが本当にすべてを計算できるをしましたか？

その2番目は面倒です。すべての形式には、計算できないものがあるようです。現在、「計算可能な関数」は「チューリングマシンが計算できるもの」と定義されています。しかし、より多くのものを計算できるわずかに強力なマシンがないことをどのようにして知ることができますか？チューリングマシンが正しい抽象化であることをどうやって知るのでしょうか？

人類は計算を形式化し、1936年に2つのシステムを開発しました。λ -calculusとAlan Turingに関するアロンツォ教会の独創的な論文（今日、2012年6月23日、彼の早期亡命につながる卑劣な状況がなければ100歳になります）チューリングマシンとして知られるようになったもの。両方の数学者はEntscheidungsproblemを解決していました。$\lambda$

チャーチの論文は少し前に出版されましたが、チューリングは彼のアイデアを開発したときそれを知らず、チューリングのアプローチは実世界の機械の設計により有用であることが証明されました。これは、計算を実行するようにプログラムできるユニバーサルチューリングマシンの設計方法を示したためです。ジョン・フォン・ノイマンの作品に基づいた具体的なアーキテクチャを備えたこの汎用マシンは、私の答えを読んでいるマシンの背後にある基本的なアイデアです。

既に説明したように、計算可能とは「チューリングマシンで計算可能」と定義されており、他のすべての合理的な計算モデルは、その能力が同等であることが証明されています。計算のすべての合理的なモデルは、それらが解決できる決定問題において同等であるという信念は、教会チューリング論文として知られています。元の形では、学んだコミュニティによってほぼ完全に信じられています。実際、教会チューリングの論文を証明/反証することの意味は完全には明らかではありません。多くの点で、それは経験的な問題になります。

$\lambda$ 計算可能）量子コンピューティングは、チューリングのモデルと同等です。

チューリングマシンと呼ばれる理由があり、それはアランチューリングによって発明されたためです。彼はそれについて1936年の論文を作り、これらの概念を確立しました。チューリングマシンについて詳しく知りたい場合は、論文をご覧ください。彼がエニグマをクラックするものを設計して構築する前に、この概念が実際に機能することは真剣に疑われていました。しかし、イギリス人はかなり必死で、彼は天才だったので、彼らは彼を信頼し、それは大いに報われました。

ただし、それについてもう少し考えてみると、それほど驚くことではありません。チューリングのずっと前に、数学のすべてを何らかの公理に還元できることが知られていました。あなたがしなければならないのは、命令セットにこれらの公理を実行する能力を与えることです。