NP Completeの言語は通常の運用で閉鎖されますか？

オンラインで調べてみましたが、明確な説明は見つかりませんでした。2つのNPC言語のUnionとIntersectionが、必ずしもNPCにあるとは限らない言語を生成することは、私には理にかなっています。NPC言語が補完、連結、およびクリーンスター操作の下で閉じられていないことも本当ですか？

complexity-theory np-complete closure-properties

— user16742
ソース

注：通常の操作は、和集合、連結、およびクリーネスターであり、交差および補完ではありません

— A.Schulz

なぜ交差して補完しないのですか？通常の操作の正式な定義はどこにも見たことがありません。

— Tushar 14

@Tushar Indeed：union、concatenation、Kleene starは通常の演算ですが、union、intersection、complementはブール演算です。ウィキペディアを参照してください。

— Hendrik Jan 2014年

@Tushar：これらの操作は正規表現を構築するために使用されるためです。

— A.Schulz 2014年

回答:

この回答に記載されている例のすべてについて、私はあることを、アルファベットを取っている。言語そのノートと間違いないNPの -complete。 $\{0,1\}$ $\emptyset$ $\{0,1\}^*$

NP完全言語のクラスは共通部分で閉じられていません。いずれかのためにNP -complete言語、聞かせて及び。と共にNPの -completeが、。 $L$ $L_0 = \{0w\mid w\in L\}$ $L_1 = \{1w\mid w\in L\}$ $L_0$ $L_1$ $L_0\cap L_1 = \emptyset$
NPコンプリート言語のクラスは、組合のもとでは閉鎖されていません。所与NP -complete言語とせ、前の部分からの及び $L_0$ $L_1$ $L'_0 = L_0 \cup \{1w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ 。および共にNPの-completeが、 $L'_1 = L_1\cup \{0w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ $L'_0$ $L'_1$ $L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ 。
NP完全言語のクラスは、連結によって閉じられません。前の部分のNP完全言語とを考えます。両方の言語が含まれているので、、我々は $L'_0$ $L'_1$ $\varepsilon$ $L'_0L'_1 \supseteq L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ 。
NP完全言語のクラスは、Kleene starの下で閉じられていません。いずれかのためにNP -complete言語、であるNPの -completeが、 $L$ $L\cup \{0,1\}$ $\big(L\cup \{0,1\}\big)^* = \{0,1\}^*\!$ 。
NP完全問題のクラスが補完の下で閉じられる場合、NP = coNPです。これが真実であるかどうかは、複雑性理論における主要な未解決の問題の1つです。

— デイビッド・リチャービー
ソース

補語を除いて、NP完全な言語はそれらすべての下で閉じられていませんか？それともPですか？

— Adjit 2017

@アジット私はそれらのどれの下でもNPが閉鎖されていないことを証明しました。

— David Richerby 2017

あなたの特定の言語のために。しかし、私{0, 1}*はどのようにしてNPが完全ではないかを見ていません。たとえば、2つのNP完全な言語の共通部分を使用する場合、NP完全な言語を取得して、共通部分の下でNPを閉じるべきではありませんか？

— Adjit 2017

{0、1} *と空の言語は規則的であるため、NP-Completeではなく多項式時間で決定できます。@DavidRicherbyは、交差がNP-Completeではない2つのNP-Complete言語が存在することを示しました。これは、NPCが交差点で閉じられていないことを証明するには十分です。

— weirdev

@weirdevいいえ！

と

は、他の言語がそれらに還元しないため、NP完全ではありません。それらがPに含まれていると言うだけでは十分ではありません。Pの言語がNP完全であってはならないことはわかりません。

\emptyset

$\emptyset$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

— David Richerby

-2

ここで、NP言語のユニオン、インターセクション、連結、およびクリーンスターの証明をご覧ください。NP完全言語についても同様の議論ができるようです。

表記については

3-SATのような知られたNP完全問題を決定するOracleのこと。還元可能なチューリングの定義を見る $A$
とはNP完全言語です $L_1$ $L_2$
とは、を使用してとを決定するチューリングマシンです。 $M_1$ $M_2$ $L_1$ $L_2$ $A$
ある $L_3$ $L_1 \cup L_2$
はを決定するチューリングマシンです。 $M_3$ $L_3$

1からの共用体の場合、とをサブルーチンとして呼び出すことにより、を決定する新しいマシンを作成できます。次に、またはが呼び出されるたびに、も呼び出されます。したがって、はを使用してを決定します。1からの引数により、実行時間はPであり、をサブルーチンとして使用ため、はNP-Completeです。言い換えると、 $M_3$ $L_3$ $M_1$ $M_2$ $M_1$ $M_2$ $A$ $M_3$ $L_3$ $A$ $M_3$ $A$ $L_3$ のと同じ理由のためにNP完全であり、及び NP完全です。 $L_3$ $L_1$ $L_2$

同じ議論を交差させることができます、そして、同様の議論が連結、およびクリーンスターのために作られる可能性があるように見えます。

賛辞の場合、同じ理由で証明するのは難しいと思われるが、NPで賛辞を証明するのは難しい。

— ジョーブログ
ソース

NP-completeness is defined in terms of many-one reductions, not oracle reductions. Further, the NP-complete languages are definitely not closed under union or intersection. If they're closed under complement, then NP=coNP, which is a major open question.

— David Richerby

In Stephen Cook's 1971 paper[1] which defines NP-Completeness he uses a Query machine which is the same concept as an Oracle. You should also check out the link above on turing reducibility. [1] chell.co.uk/media/product/_master/1/files/…

— joebloggs

@joebloggs: I can see from your argument that union and intersection of two NP-Complete languages is NP. However, it still doesn't prove whether it is NP-complete. You have to reduce the union or intersection of two NP-complete decision problem to a NP-complete decision problem to show that.

— Tushar

@DavidRicherby: You say that the NP-complete languages are definitely not closed under union or intersection. I am interested in looking at the proof for that. Do you have any references for that proof?

— Tushar

@joebloggs：引数はNP言語では機能しますが、NP完全言語では機能しません。言語LがNp完全であることを証明するには、Lから既知のNP完全言語への多項式簡約を提供する必要があります。デビッドの答えについては、空の言語と普遍的な言語の両方がPに含まれているため（したがって、それらもNPに含まれているため）、Pは共通部分の下で閉じていますが、NP完全ではありません。それが明らかになることを願っています！

— Tushar 14