グラフのすべての非循環方向を見つけるアルゴリズム

無向グラフの非循環方向に取り組んでおり、次の質問があります。

接続された無向単純グラフ与えられた場合、すべての可能な非循環方向を見つける方法は？ $G$ $G$
非環状配向の数はいくつですか？（より知られているここになるように）グラフのと頂点で評価彩色多項式である。しかし、私はを負の値（）で評価する方法を理解することに成功しませんでした。 $(-1)^p\ \chi(G,-\lambda)$ $G$ $p$ $\chi$ $-\lambda$ $\chi$ $-\lambda$

algorithms graph-theory counting

— Seteropere
ソース

Re 2、

は単なる多項式です。任意の複雑なポイントで評価できます。非環式向きの数は、

、

頂点の数です。たとえば、三角形の色多項式は

であるため、非循環方向の数は

χ (G, \cdot)

$\chi(G,\cdot)$

(- 1)^{p} χ (G, - 1)

$(-1)^p \chi(G,-1)$

p

$p$

t (t - 1) (t - 2)

$t(t-1)(t-2)$

（全

以外の方位環状配向）。

(- 1)^{3} (- 1) (- 2) (- 3) = 6

$(-1)^3(-1)(-2)(-3) = 6$

2^{3}

$2^3$

2

$2$

— Yuval Filmus 14

@YuvalFilmus、ありがとうございました。で多項式を評価し、その問題そう

。

- λ

$-\lambda$

— seteropere 2014

Yuvalが述べたように、負の単一性でグラフの色彩多項式を評価することにより、非循環方向の数を数えることができます。色多項式を計算するために、いくつかのグラフクラスで知られている効率的なアルゴリズムがあります。

Squire [1]によって与えられたグラフのすべての非循環方向を生成するための再帰的アルゴリズムもあります。アルゴリズムは、生成された非周期的な向きごとに時間を必要とします。およそ20年前、これは既知の最速のアルゴリズムでした。より高速なものが現在知られている、または既知の手法でSquireのアルゴリズムを改善できる可能性があります。 $O(n)$

[1] Squire、MB（1998）。グラフの非循環方向の生成。Journal of Algorithms、26（2）、275-290。

— 十保
ソース