の意味

回路の複雑性には次のような基本的な結果があります。

サイズ回路では解決できない言語が存在します。$o(\frac{2^n}{n})$

引数は、ブール関数の数と個別の回路の数に関する単純なカウント引数です。たとえば、これらの講義ノートを参照してください。

この限界が厳しいかどうかは不明です。つまり、次の説明が正しいかどうかはわかりません。

すべての言語は、サイズ回路で解決できます。$O(\frac{2^n}{n})$

このステートメントが真実である場合、複雑性理論に興味深い影響がありますか？

これはミュラーによって早くも1956年に証明されました。これが構造です。しましょう$k$パラメータであること。最初に可能なすべての関数を最初に計算します$k$ サイズの入力 $O(2^{2^k})$（下記参照）。次に、もう一方の決定木を作成します$n-k$変数、それを残りの変数の正しい関数に接続します。これには$O(2^{n-k})$ （以下を参照）、合計 $O(2^{2^k}) + O(2^{n-k})$。選ぶ$k = \log (n - \log n)$、目的の範囲を取得します。

すべての可能な関数を計算します $k$誘導的に入力します。しましょう$Z_k$ 可能なすべての関数を計算する回路のサイズ $k$入力。ゼロ入力には2つの関数があるため、$Z_0 = 2$。すべての機能$f(x_1,\ldots,x_k)$ オン $k$ 入力は次のように書くことができます $x_k f(x_1,\ldots,x_{k-1},1) + \overline{x_k} f(x_1,\ldots,x_{k-1},0)$、 そう $Z_k = Z_{k-1} + 2^{2^k} \cdot O(1)$。この再発の解決策は$Z_k = O(2^{2^k})$。

決定木を計算するために、同様の構成を使用します。 $T$ 最初に $k-1$ 変数、最初のツリーを構築できます $k$ フォームの変数 $x_k T + \overline{x_k} T$。私たちが得る再発は$W_k = 2W_{k-1} + O(1)$、その解決策は $W_k = O(2^k)$。