量子コンピューティングとチューリングマシン：チューリングマシンはまだ正確な尺度ですか？

先週の授業で、私の教授はコメントし、チューリング機械は計算可能なものの標準的な尺度/モデルとして使用され、その主題の議論の有用な基盤であると述べました。彼女はまた、チューリング機械のすべてのバリアントが、互いに計算的に同等であることが実証されていることを確認しました。W

私はコメントし、昨日、計算能力に関して、いくつかのチューリングマシンが非常に単純なものを計算するのに非常に長い時間がかかることがあることに気づきました。必要な手順。

彼女は、クラスの談話に関して、チューリングマシンでの特定のアルゴリズムの実行時間は、計算可能性の定義、または計算可能性を測定する能力を変更しないと述べました。「私たちは、この時点で効率的に計算できるものではなく、計算可能なものを心配しています。」そのため、チューリングマシンのテープの数が増えても問題ありません。テープの数が増えれば、より少ないステップで計算できるようになります。さて、計算できる速度ではなく、計算可能なものに本当に焦点を合わせていると思います。

この点については、これまでのところ、異常に大きな漸近的な時間と空間の複雑さを持つアルゴリズムが、実際には計算可能なものの限界を実際に定義しているため、気になります。

だから、私はいくつかの質問があります：

1. 量子チューリングマシンのモデルがあるとします。これは、「通常の」チューリングマシンと同等でなければなりません。

ですから、この質問に対する答えは、この投稿を書いた私の理由に向かっていると思います。量子コンピューティング技術は、チューリングマシンを介して計算可能なものの古典的な定義を時代遅れにしますか？

2. これは私の頭の上にありますか、この投稿を削除する必要がありますか？私は早熟であることを意味するものではありません。私のような質問は見ていません。

あなたはアップミキシングしている計算可能性理論（としても知られている再帰理論）と複雑性理論（または計算の複雑さを）。計算可能性理論は計算の概念の影響を研究する広大な数学的主題です。計算の複雑さには対応していません。教授が述べているように、すべての（チューリング完全な）計算モデルは、計算可能性理論の観点からは同じです。計算可能性理論は、興味深い数学的な主題ですが、あなたが言及しているように、この理由で実世界の計算のための良いモデルではありません。

複雑性理論は、この問題に対処する試みとして始まりました。複雑さの理論は、特定の述語と関数を計算するのが時間と空間の面でどれほど難しいかを研究します。複雑性理論の観点からは、すべての計算モデルが同じというわけではなく、チューリングマシンが参照モデルとして採用されています。ただし、複雑性理論でさえも、チューリングマシンと多項式的に等価なすべての計算モデルを同じ方法で処理するため、あまり現実的ではありません（1つのモデルで時間と空間で解決可能な問題がある場合、2つのモデルは多項式的に等価です時間で解くことができ、他方で空間で解くことができます。ここで、は入力サイズで、S （n ）T （n ）c S （n ）c n c O （1 ）O （n log n ）Ω （n 2$T(n)$$S(n)$$T(n)^c$$S(n)^c$$n$$c$はいくつかの正の定数です）。たとえば、チューリングマシンは、ランダムアクセス（メモリ内の任意の時点アクセスする）をサポートしていないため、実際のコンピューターに適したモデルではありません。もちろん、ランダムアクセスはチューリングマシンでシミュレートできますが、シミュレーションは遅くなる可能性があります。ソートは時間で行うことができるとよく言われが、これはおそらく必要とするチューリングマシンの場合ではなく、整数のソートでも移動します。したがって、アルゴリズムの分野では、RAMマシンなどの他のモデルがチューリングマシンに取って代わります。$O(1)$$O(n\log n)$$\Omega(n^2)$

最後に、量子コンピューターは、量子チューリングマシンなど、いくつかの異なる方法でモデル化できます。量子コンピューターを使用して計算できるものはすべて、古典的なコンピューターを使用しても計算できるため、計算可能性理論の観点からは、量子チューリングマシンは同等のモデルにすぎません。ただし、量子チューリングマシンは、古典的なチューリングマシンと多項式的に同等ではないことが広く推測されています。古典的なチューリングマシンの場合（多項式時間では解けません。整数時間の因数分解は多項式時間で解けると考える人もいますが）。複雑性理論の観点からすると、 従来のチューリングマシンとは異なります。