有限表現とプログラミング言語

私はオートマトン理論と有限表現に関するいくつかの前提条件の数学について説明します。

私は以下を読みました：

• ∑が有限のアルファベットの場合、アルファベット（over *）上のすべての文字列のセットは無限に無限です。

• アルファベットのすべての可能な言語のセットは、数え切れないほど無限です∑ 。

どのようにΣから可能な言語のセットをすることができ非可算無限、まだ言語へのアルファベットの可能なアプリケーションは、可能可算無限？

私は数学の専門家ではないので、あまり複雑な表記を使用しないように返信する人に質問できますか？

違いを強調する簡単な状況を次に示します。有限のバイナリ文字列のセットはカウント可能です。無限のバイナリ文字列のセットは数えられません。

別の例：有限の10進展開を持つ数値のセットはカウント可能です。無限小数展開の数値のセットはカウントできません。

言語の数が数えられない理由は、あなたが無限に多くの選択肢を持っているからです：各単語について、それが言語であるかどうかを決めることができます。これが、上記で検討した無限のバイナリ文字列のようなものです。

「どうやってできるか」という形式の質問は、直感を求めるため、常に答えることは困難です。ここでの直観は、「数えられない」とは「多すぎる」という意味です。ある種類のオブジェクトが他の種類のオブジェクトよりも「はるかに」多いのはなぜですか？まあ、彼らはただです。

事実を確実に理解してください。

1. 有限の集合を考える $\Sigma$、全単射を構築します $\mathbb{N}$ すべての（有限）文字列のセットに対して $\Sigma^*$。

   ヒント： $\Sigma^n$ は有限なので、の一般化された番号付けを組み合わせる $\Sigma^n$ と $n$ 動作するはずです。\

2. 自然のすべてのタプルのセット、つまり $\mathbb{N}^+ = \bigcup_{i \geq 1} \mathbb{N}^i$、カウント可能です。

   ヒント：全単射を作成する $\mathbb{N}^i$ まず（Cantorを参照）、それらを結合し、再度使用します $i$。

3. のパワーセットを示します $\mathbb{N}$、すなわち $2^{\mathbb{N}}$、数えられません。

   ヒント：対角化を使用します。

これを実行した場合、たとえば、それを示すためのすべてのツールがあります

• すべてのアルゴリズム（より一般的には、有限表現）の概念は数えられるが
• naturalsまたはrealsまたは...に対するすべての関数のセットは数えられません。