書き込み保護された入力を備えたシングルテープチューリングマシンは、正規言語のみを認識します

問題は次のとおりです。

入力文字列を含むテープの部分に書き込むことができないシングルテープチューリングマシンは、通常の言語のみを認識することを証明します。

私の考えは、この特定のTMがDFAと同等であることを証明することです。

このTMを使用してDFAをシミュレートするのは非常に簡単です。

ただし、このDFAを使用してTMをシミュレートする場合、問題が発生します。TM遷移場合、DFAはテープを右に読み取り、同じ状態遷移を行うことにより、確実にシミュレートできます。$\delta(q,a)=(q',a,R)$

以下のために、私はDFAだけ左に読み込み、店舗へのスタックか何かを持っていないため、左の動きをシミュレートするために、このDFAやNFAを使用する方法を見つけ出すことはできません。$\delta(q,a)=(q',a,L)$

別の方法を検討すべきですか？誰か私にいくつかのヒントを教えてもらえますか？ありがとう。

前書き

質問の元の文に誤りがあるかもしれないと思ったので、OPはもはや尋ねる必要がありませんでした。だから、テープはどこでも読み取り専用であると仮定し、その仮定に基づいて最初の証明を書きました.TMがテープの入力部分の外側に完全なチューリング力を持っているという事実に動機付けられています。 RE言語を認識できるという信念。

ただし、そうではありません。テープの入力部分への書き込みの制限は、テープのその部分の出入り時の状態の数によって制限される、有限の情報のみを入力から抽出できることを意味します（入口と出口の側）。InstructedAは、RE言語の認識に問題があることをコメントでコメントすることでクレジットされます。これは、元の入力領域に書き込むことなく入力のコピーを作成することはできないためです。

したがって、テープの入力セクションのみが読み取り専用であり、残りは読み取り/書き込みが許可されていることを前提とする2番目の証明を書きました。

2番目の証明を理解する必要はなく、より複雑であり、2番目の証明に包含されていますが、最初の質問は解決策を見つけるのに役立ちましたので、両方の証明をここに保持しています。スキップできます。ただし、より弱い証明には、（チューリングマシンと同等のFSAを取得するために）建設的であるという利点がありますが、より一般的な結果は建設的ではありません。

しかし、私は最初に最後のより強力な結果を与えています。証拠がなくても、ネットの他の場所で、または有能なユーザーに尋ねても、この結果を見つけることができなかったことに少し驚いています。

内容：

• 入力を上書きしないチューリングマシンは、通常の言語のみを受け入れます。 この証明は建設的なものではありません。

• 読み取り専用テープ付きのチューリングマシンは、通常の言語のみを受け入れます。 以前の証明に組み込まれているようにスキップすることもできますが、別のアプローチを使用しており、建設的という利点があります。

入力を上書きしないチューリングマシンは、通常の言語のみを受け入れます

TMは入力を上書きせず、そのため入力でのみ読み取りが行われますが、TMはテープの残りの部分で読み取りと書き込みを行うことができます。証明は、未知の入力に対するTMの観測的動作が有限数の異なるケースしか生成できないという事実に依存しています。したがって、TMはテープの残りの部分に依存するだけで完全なチューリング能力を持ちますが、入力に関する情報（任意の文字列）は有限であるため、有限の異なるケースでのみ計算できます。これにより、構造的というよりも行動的な、通常の言語の有限性の異なる見解が得られます。$\Sigma^*$

TMは、受け入れ状態になったときに受け入れると想定しています。

証明。

入力の制限された計算（IRC）を、TMの（読み取り専用）計算として定義し、TMヘッドがテープの入力部分に留まるようにします。入力エリアの左または右。

左入力は、計算を制限入力の左端のシンボルで開始することIRCです。右入力は、計算を制限入力の右端のシンボルで開始IRCです。

最初に、状態で始まる左入力制限のある計算では、次の言語が規則的であることを証明します。$p$

• 入力文字列の言語は、状態pで始まり、状態qの左端の入力シンボルの左の最初のセルで終わる左入力制限計算があります。$K_{Lp\to Lq}$$p$$q$

• 入力文字列の言語は、状態pで始まり、状態qの右端の入力記号の右の最初のセルで終わる左入力制限計算があります。$K_{Lp\to Rq}$$p$$q$

• 受け入れ状態に到達する状態pで始まる左入力制限計算があるような入力文字列の言語。$A_{Lp}$$p$

同様に、状態で始まる右入力制限の計算では、次の同様に定義された言語は規則的です： $p$、 K RのP → RのQ、および A RのP。$K_{Rp\to Lq}$$K_{Rp\to Rq}$$A_{Rp}$

6つの証明は、双方向の非決定性有限状態オートマトン（2NFA）が通常の集合を認識するという事実に依存しています（Hopcroft + Ullman 1979、pp 36-41、およびexecise 2.18 page 51を参照）。2NFAは、最初に左端のシンボルから開始し、受け入れ状態で右端を超えて移動することにより受け入れられる、入力に限定されたテープ上の読み取り専用TMのように機能します。

6つのケースのそれぞれで、入力制限された計算を模倣する2NFAを構築することによって証明が行われますが、受け入れの中で最も左のセルから開始し、右端から終了して言語を受け入れることができるようにいくつかの追加の遷移があります状態。ために？？→ ？？言語の場合、TMの元の受け入れ状態は、停止する非受け入れ計算につながる状態に変更されます。2つの場合、左端で終了するTM計算を検出して右端で終了させるために、新しいガードシンボルを左に追加したセルを追加する必要がある場合があります。$K_{??\to ??}$

これらの言語は、元のチューリングマシンの状態 とqのすべての組み合わせに対して定義されます。それらは、TMが入力を観察できる（したがって、既知で計算される）すべてを表します。$p$$q$

が状態の数である場合、4 k 2言語 Kを定義しますか？？→ ？？そして$k$$4k^2$$K_{??\to ??}$言語 A ？？、したがって合計 4 k 2 + 2 k 言語。実際、これらの言語の一部は同等である場合があります。$2k$$A_{??}$$4k^2+2k$

これらは、入力の一方の端から開始するTMの唯一の可能な入力制限計算です。したがって、各入力文字列（テープの入力セクションの外側）によって引き起こされる計算は、入力が属するまたは属さないそのような言語のセットによって特徴付けられます。したがって、これらの4 k 2のそれぞれの共通部分によって言語または Σ ∗の補数。これらの交差点はすべて、r 4 k 2 + 2 kの正規言語の有限交差点、またはそれらの補数であり、これらも正規であり、したがって正規です。$4k^2+2k$$\Sigma^*$$4k^2+2k$

結果として、これらの交点のセットは、Σ ∗のパーティションを最大で2 4 k 2 + 2 k個の通常言語に定義し ます（せいぜい初期言語が等しい場合もあり、交差点もある場合もあるためです）。入力の端から見ると、同じ等価クラスに属するすべての文字列は、まったく同じ動作を生成できます。これは、読み取り専用入力領域で何が起こるかを抽象化すると、チューリングマシンの計算でそれらを区別できないことを意味します。$\mathcal P$$\Sigma^*$$2^{4k^2+2k}$

2つの文字列uを取る場合$u$との同じ等価クラスで Pを、我々は上のTMのいずれかの受理計算のためにすることを、入力エリアが入力された回数に誘導することにより、証明できるのu、受諾TM計算があります上のV入力エリア外どこでも同じです。したがって、同等クラスのすべての文字列が受け入れられるか、受け入れられません。結果として、TMが受け入れる言語はPの同値類の結合です。したがって、これは通常の言語の有限結合であり、したがって通常の言語です。$v$$\mathcal P$$u$$v$$\mathcal P$

完全にするために、空の入力文字列の場合はスキップしました。この場合、通常のTMだけがあり、どこでも読み書きできます。受け入れ状態に達すると、空の文字列は言語内にありますが、そうでない場合はそうではありません。しかし、それは認識される言語が規則的であるという事実にはほとんど影響を与えません。

もちろん、等価クラスが言語にあるかどうかは決定できません（空の文字列についても同じことが言えます）。これは非建設的な証明です。

QED

読み取り専用テープ付きのチューリングマシンは、通常の言語のみを受け入れます

これは前の結果に含まれています。おそらくエレガントではない別のアプローチを使用しているので、重要なことを理解することで以前の証拠を見つけるのに役立ちました。しかし、読者はそれを無視することができます。ただし、この証明の利点の1つは、言語を受け入れるFSAを作成する建設的な証明であることです。同様の証明のスケッチは次式で与えられヘンドリック月に彼の答えに、以前同様の質問全部テープた読み取り専用を前提とし、。

$\Box$

プルーフの最初のステップは、ヘッドがテープの入力領域を離れる必要がないことを示すことです。したがって、頭が右端の入力記号から外れたときに何が起こるかを分析します。左端から移動するときの分析は同じです。

$q$

1. TMは、テープの入力部分に頭が戻ることなく、永遠に計算を続けます。

2. TMが（a）受け入れに達するか、（b）非受け入れ状態で停止する。

3. $r$

$q$

TMは書き込みを行わず、空白記号onlyのみを読み取る$\Box$$1$$0$

$0$

有限状態制御の関連部分を有向グラフで表します。ここで、頂点はTMの状態であり、エッジは空白の遷移であり、頭部が移動するかどうかに応じて重みが+1または-1になります。右か左。

A Rを定義します$A_R$$q$

$E_R$$(q,r)$$-1$$q$$r$

$\Box$

新しい受け入れ状態を作成します $q_A$

$p,a\mapsto R,q$$p,a\mapsto R,q_A$$q\in A_R$

$p,a\mapsto R,q$$(q,r)\in E_R$$p,a\mapsto S,r$$S$

$a$$F_a=\{(p,r)\mid \text{ there is a dummy transition } p,a\mapsto S,r\}$$F_a^*$$F_a$$r,a\mapsto L,s$$(p,r)\in F_a^*$$p,a\mapsto L,s$

$+1$$-1$

これが完了すると、対応する計算が新しい遷移によって短絡されるため、空白セル上のすべての遷移を完全に削除します。そして、状態を持つ場合を除いて、常に入力にとどまるヘッドを持つ新しいTMがあります。$q_A$

このTMを双方向のNDAとまったく同じように動作させるために、いくつかの表面的な変更を行う必要があります（受け入れは右側の入力を終了状態にするだけです）。次に、2-NDAとFSAの既知の同等性に依存して（たとえば、Hopcroft + Ullman 1979、40ページを参照）、言語が正規であることの証明を取得できます。

QED

双方向の有限オートマトンは通常の言語の正確さを認識するため、左または右に移動しても問題はありません（これは明らかではありません）。ただし、TMが入力ワードのテープの部分の外側に書き込むことができる場合、テープのこの部分を使用して通常の言語で認識できると思います。たぶん私は質問を明確に理解していないかもしれません。