DFAで受け入れられない通常の言語は最大で3つの州しかありません

州が3つしかないDFAで受け入れられない通常の言語について説明してください。

私はこれからどこから始めればいいのか本当にわからず、誰かが私にいくつかのヒントやアドバイスを与えることができるかどうか疑問に思いました。ポンピングレンマは、言語が規則的でないことを証明するために使用できることを理解していますが、この場合、それは通常の言語である必要があります。誰かが何か考えを持っている場合、それはいただければ幸いです。

ポンピングレンマは、DFAの状態の数を考慮に入れると言えます。状態のDFAで受け入れられるすべての言語は、次のポンプ補題を満たします。$L$$p$

長さが少なくとも各単語は、として分割できます。ここで、および、すべてのに対してになる。p w = x y z | x y | ≤ P | y | ≥ 1 、X 、Y I、Z ∈ L iは≥ $w$$p$$w=xyz$$|xy| \leq p$$|y| \geq 1$$xy^iz \in L$$i \geq 0$

この特性を使用して、言語に状態が必要であることを証明できます。p + $\{0^p\}$$p+1$

もう1つの方法は、マイヒル-ネロードの定理を使用することです。2つの単語は（一部の言語に関して）等しくありません。一部の単語について、とまたはその逆の場合です。マイヒル-ネロードの定理は、ペアワイズ非等価ワードがある場合、すべてのDFAには少なくとも状態があると述べています。例示のために、あなたが見つけることができペアワイズ非等価単語、すなわち。LのZ 、X 、Z ∈ LのY軸Z ∉ LのPのLのPのL = { 0 、P } のp + 1つのε 、0 、... 、0 $x,y$$L$$z$$xz \in L$$yz \notin L$$p$$L$$p$$L = \{0^p\}$$p+1$$\epsilon,0,\ldots,0^p$

ユヴァルの答えは素晴らしいです。彼が説明していることのより簡単な定式化は、有限オートマトンは任意に高く数えることができず、それらが数えることができる量はオートマトン内の状態の数によって制限されるということです。より正確には、オートマトンがまでカウントするには、状態が必要です（1つの状態はなり）。p + 1 $p$$p+1$$0$

これは、本質的には、ポンピングレンマの背後にある全体的なアイデアです。文字列が本当に長い場合、有限オートマトンはそのカウント数を「忘れて」、最初からやり直す必要があるため、気にせずにセクションを何度も繰り返すことができます。 。

したがって、その中の単語を検証するために3まで数える必要がある通常の言語は、サイズ3の有限オートマトンでは記述できません。

あなたはそのような言語を考えることができますか？（私のカリキュラムではポンプの補題に関するこの理解は当然のことと考えられていましたが、あなたの教授はこの数え上げの議論を証明することを期待するかもしれません）

DFAを最小化するアルゴリズムがあります。最小DFAが4（またはそれ以上）の状態の言語を選択してください。最小長が3シンボルのすべて、つまり、正規表現、または（さらに単純な）の言語で実行できます。その理由を確認するには、通常の言語のポンプレンマの証明をのぞいてみてください。a $a^3 a^*$$a^3$

別のアイデア、対角化！3つまたはそれ以下の状態のDFAをすべて列挙し、それらすべての和集合を取り、それから補集合をとります。これは通常の言語操作によるDFAです。これはアルゴリズムを介して構築できますが、質問は説明を要求するだけです。