無限単項言語のクリーネスターは常に通常の言語を生成します

ましょ $L = \{a^n \mid n \ge 0\}$ 、とのすべてのため $a^0 = \epsilon$ $a^n = a^{n-1}a$ $n \ge 1$ 。

従って $L$ の配列で構成された長さの配列を含む全ての長さの、。してみましょう、任意の無限のサブセットである。を認識するDFAが常に存在することを示す必要があります $a$ $0$ $L_2$ $L$ $L_2^*$ ます。

場合は $L_2$ 有限のサブセットであることは、として非常に明白である $L_2$ クリーネの閉鎖により、DFA、ひいてはだろう $L_2^*$ DFAによって認識されるだろう。ただし、文字列の長さが素数である場合など、 $L_2$ はDFAとして表現されない可能性があるため、無限サブセットについては取得できません。

formal-languages regular-languages closure-properties

— アディティアナンビア
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言語の長さが比較的素数である2つの単語があるとします。これらの長さをとます。これらの数値を繰り返し加算することで、より大きい任意の数値を取得できることはわかっています（これを参照）。したがって、とがと場合、より大きい任意の数をと線形結合として書き込むことができます。これが私たちに意味すること： $x$ $y$ $(x - 1)(y - 1) - 1$ $x$ $y$ $13$ $7$ $72$ $7$ $13$ $L_2^*$ 言語と労働組合で、（すべての有限の言語として、定期的に）いくつかの任意の有限言語で構成され。この言語は、有限の単語セットが削除されたすべての単語の言語であるため、規則的です。以来正規言語の労働組合である、それはまた、定期的にする必要があります。 $\{w \in a^* \mid |a| > (x-1)(y-1)-1\}$ $L_2^*$

すべての単語の長さが最大の共通因子を共有する場合（この共通因子をと呼びます）、上記の引数を繰り返しますが、文字列の長さを使用する代わりに、割った文字列の長さを使用します。この場合には、任意の有限言語（正規）の連結及び言語であろう $L_2^*$ $m$ $m$ $L_2^*$ 、また規則的（$（a ^ m）^ *は規則的であり、有限数の単語をそこから削除しているため）。 $\{w \in (a^m)^* \mid |w| > m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1]\}$

たとえば、すべての単語のGCFが2で、言語に単語とが含まれているとします。我々は、、及び互いに素です。したがって、長さがよりも大きい場合、長さが倍数であるすべての単語を取得できることがわかります。 $L$ $a^4$ $a^{10}$ $m = 2$ $x/m = 4/2 = 2$ $y/m = 10/2 = 5$ $m$ はと連結によって得られます。 $m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1] = 2^2[(2 - 1)(5 - 1) - 1] = (4)(3) = 12$ $a^4$ $a^{10}$

— パトリック87
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